长方体ABCD-A1B1C1D1中.AB=a.BC=b.AA1=c.求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值. 解析:显然.通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD1和B1C所成的角.但同时又为了使构造出的角便于计算.故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF-D1C1E1F1.具体作法是:延长A1D1.使A1D1=D1F1.延长B1C1至E1.使B1C1=C1E1.连E1F1.分别过E1.F1.作E1EC1C.F1FD1D.连EF.则长方体C1D1F1E-CDFE为所作长方体. ∵ BCD1F1 ∴ BD1CF1 ∴ ∠B1CF1就是异面直线BD1与B1C所成的角. ∵ BD2=a2+b2 ∴ Rt△BDD1中.BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 ∴ CF12=BD12=a2+b2+c2 ∵ B1C2=b2+c2.B1F12=a2+4b2 ∴ △B1CF1中 cos∠B1CF1= (1) 当c>b时. cos∠B1CF1>0 ∴ ∠B1CF1为锐角.∠B1CF1就是异面直线BD1和B1C所成的角 (2) 当c<b时.cos∠B1CF1<0 ∴ ∠B1CF1是钝角 ∴ π-∠B1CF1就是异面直线BD1和B1C所成的角 (3) 当c=b时.∠B1CF1=900 ∴ BD1⊥B1C 法二:作异面直线所成角的过程.其实就是平移异面直线的过程.借助于三角形中位线的平行性.也可以达到平移的目的. 如图.分别取BC.BB1.B1D1的中点P.M.Q.连PM.MQ.PQ 则 MP∥B1C.MQ∥BD1 ∴ ∠PMQ就是异面直线BD1与B1C所成的角 △ PMQ中.MP=B1C= △ MQBD1=.PQ= 利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果 【
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