题目列表(包括答案和解析)
欧拉(Euler),瑞士数学家及自然科学家.1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔,1783年9月18日于俄国彼得堡去逝.欧拉出生于牧师家庭,自幼受父亲的教育,13岁时入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获硕士学位.
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界做出了巨大的贡献,更把数学推至几乎整个物理的领域.他是数学史上最多产的数学家,平均每年写出八百多页的论文,还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本,《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作.
欧拉对数学符号的创立及推广起了积极的作用.比如用e表示自然对数的底,用i表示-1,用f(x)作为函数的符号,π虽不是欧拉首先提出的,但是在欧拉倡导下推广普及的.尤为不可思议的是欧拉将数学中最为活跃的五个数1,0,π,e,i竟用一个美妙绝伦的公式联系了起来:eiπ+1=0(欧拉指数公式),在西方数学界甚至认为此公式不亚于神的力量.
欧拉对数学的研究如此广泛,因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.
1.你对欧拉(Euler)了解吗?请查阅欧拉(Euler)的故事,对于他“13岁时入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获硕士学位”,你有何感触?
2.作为新时代的青年,你做好将来为科学事业做贡献的思想准备了吗?
已知数列
的前
项和为
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求
的通项公式;
(Ⅱ) 设
(
N*).
①证明:
;
② 求证:
.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用
关系式,表示通项公式,然后得到第一问,第二问中利用放缩法得到
,②由于
,
所以
利用放缩法,从此得到结论。
解:(Ⅰ)当
时,由
得
. ……2分
若存在
由
得
,
从而有
,与
矛盾,所以
.
从而由
得
得
. ……6分
(Ⅱ)①证明:![]()
证法一:∵
∴![]()
∴
∴
.…………10分
证法二:
,下同证法一.
……10分
证法三:(利用对偶式)设
,
,
则
.又
,也即
,所以
,也即
,又因为
,所以
.即
………10分
证法四:(数学归纳法)①当
时,
,命题成立;
②假设
时,命题成立,即
,
则当
时,![]()
![]()
即![]()
即![]()
故当
时,命题成立.
综上可知,对一切非零自然数
,不等式②成立. ………………10分
②由于
,
所以
,
从而
.
也即![]()
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