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（2013•资阳二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E分别为A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．

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（2013•资阳二模）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E-BC₁-D的余弦值．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????? 3分

∴，

∴．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??? 8分

∵，∴，???????????? 10分

∴，当且仅当时取＂＝＂．

故△ABC面积取最大值为．?????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3．

①三次取球均出现最大数字为3的概率；??????????? 1分

②三次取球中有2次出现最大数字3的概率；????? 3分

③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率．????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k时, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．?? 8分

则ξ的概率分布列为：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????? 10分

∴ξ的数学期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．????????? 12分

19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等边三角形，设O是AA₁的中点，连接BO，则BO⊥AA₁． 2分

∵侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面积为，知C到AA₁的距离为，，∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．??????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．??????????????????????????? 5分

设是平面ABC的一个法向量，

则即

令，则．设A₁到平面ABC的距离为d．

∴．????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC₁的一个法向量．    9分

∴．????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．??????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），对称轴方程为，故函数在[0,1]上为增函数，∴．???????????????????????? 2分

当时，．?????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????? 4分

则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

∴，∴．?????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????? 7分

可知：当时，；当时，；当时，．

即????????????????????? 10分

可知存在正整数或6，使得对于任意的正整数n，都有成立．??? 12分

21．解：（Ⅰ）设，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．?????????????????? 2分

则N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，则，．

∴椭圆的方程为．?????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????? 5分

由消去y得．

∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

，

∴，，?????????????????? 7分

∴，

由，，．????? 8分

．??????????? 9分

（或）．

设，则，，，

令，则，

∴在时单调递增，????????????????????? 11分

∴S关于μ在区间单调递增，，，

∴．???????????????????????????? 12分

（或，

∴S关于u在区间单调递增，???????????????????? 11分

∵，，．）???????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因为，，则，   1分

当时，；当时，．

∴在上单调递增；在上单调递减，

∴函数在处取得极大值．???????????????????? 2分

∵函数在区间（其中）上存在极值，

∴解得．??????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即为，???????????? 4分

记，∴，?? 5分

令，则，∵，∴，在上递增，

∴，从而，故在上也单调递增，

∴，

∴．??????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??? 8分

令则，??????????????? 9分

∴，

，

，

………

，??????????????????????? 10分

叠加得：

．???????????????????? 12分

则，

∴.???????????????????? 14