已知点（）,过点作抛物线的切线，切点分别为、（其中）．

（Ⅰ）若，求与的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若以点为圆心的圆与直线相切，求圆的方程；

（Ⅲ）若直线的方程是，且以点为圆心的圆与直线相切，

求圆面积的最小值．

【解析】本试题主要考查了抛物线的的方程以及性质的运用。直线与圆的位置关系的运用。

中∵直线与曲线相切，且过点，∴，利用求根公式得到结论先求直线的方程，再利用点P到直线的距离为半径，从而得到圆的方程。

（3）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，借助于函数的性质圆面积的最小值

（Ⅰ）由可得，．  ------1分

∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，

∴，或， --------------------3分

同理可得：，或----------------4分

∵，∴，． -----------------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，则的斜率，

∴直线的方程为：，又，

∴，即． -----------------7分

∵点到直线的距离即为圆的半径，即，--------------8分

故圆的面积为． --------------------9分

（Ⅲ）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，    ………10分

∴

，

当且仅当，即，时取等号．

故圆面积的最小值．

 

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x(个)	2	3	4	5
加工的时间y(小时)	2.5	3	4	4.5

 

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；

(3)试预测加工10个零件需要多少时间？

(注：)

【解析】第一问中利用数据描绘出散点图即可

第二问中，由表中数据得＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54，∴＝0.7，＝1.05得到回归方程。

第三问中，将x＝10代入回归直线方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)得到结论。

(1)散点图如下图．

………………4分

(2)由表中数据得＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54，

∴＝…＝0.7，＝…＝1.05.

∴＝0.7x＋1.05.回归直线如图中所示．………………8分

(3)将x＝10代入回归直线方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，

∴预测加工10个零件需要8.05小时

 

设三组实验数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃）的回归直线方程是：

y

=

b

x+

a

，使代数式[y₁-（

b

x₁+

a

）]²+[y₂-（

b

x₂+

a

）]²+[y₃-（

b

x₃+

a

）]²的值最小时，

b

=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x • . y

x12+x22-3 . x 2

，

a

=

.

y

-

b

x，
（

.

x

，

.

y

分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数）．若有六组数据列表如下：

x	2	3	4	5	6	7
y	4	6	5	6.2	8	7.1

（1）求上表中前三组数据的回归直线方程；
（2）若|y_i-（

b

x_i+

a

）|≤0.2，即称（x_i，y_i）为（1）中回归直线的拟和“好点”，求后三组数据中拟和“好点”的概率．

设三组实验数据（x₁，y₁）．（x₂，y₂）．（x₃，y₃）的回归直线方程是：y=bx+a，使代数式[y₁-（bx₁+a）]²+[y₂-（bx₂+a）]²+[y₃-（bx₃+a）]²的值最小时，a=

.

y

-b

.

x

，b=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x . y

x12+x22+x32-3 . x 2

，（

.

x

、

.

y

分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数）
若有七组数据列表如图：

x	2	3	4	5	6	7	8
y	4	6	5	6.2	8	7.1	8.6

（Ⅰ）求上表中前三组数据的回归直线方程；
（Ⅱ）若|y_i-（bx_i+a）|≤0.2，即称（x_i，y_i）为（Ⅰ）中回归直线的拟和“好点”，求后四组数据中拟和“好点”的概率．

设椭圆 ：（）的一个顶点为，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 的直线  与椭圆 交于 ， 两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线  的方程；若不存在，说明理由；

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。（1）中椭圆的顶点为，即又因为，得到，然后求解得到椭圆方程（2）中，对直线分为两种情况讨论，当直线斜率存在时，当直线斜率不存在时，联立方程组，结合得到结论。

解：（1）椭圆的顶点为，即

，解得， 椭圆的标准方程为 --------4分

（2）由题可知,直线与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．                    --------5分

②当直线斜率存在时，设存在直线为，且，.

由得，       ----------7分

，，               

   = 

所以，                               ----------10分

故直线的方程为或 

即或