已知函数f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

 

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC₁、AB、BC的中点，且.

（Ⅰ）求证：CN∥平面AMB₁；

（Ⅱ）求证： B₁M⊥平面AMG.

【解析】本试题主要是考查了立体几何汇总线面的位置关系的运用。第一问中，要证CN∥平面AMB₁；，只需要确定一条直线CN∥MP，既可以得到证明

第二问中，∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，得到线线垂直，B₁M⊥AG，结合线面垂直的判定定理和性质定理，可以得证。

解：(Ⅰ)设AB₁ 的中点为P，连结NP、MP ………………1分

∵CM   ，NP   ，∴CM       NP， …………2分

∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP  …………………………3分

∵CN  平面AMB₁，MP奂  平面AMB₁，∴CN∥平面AMB₁…4分

(Ⅱ)∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，

    ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁ B₁ B，∴B₁M⊥AG………………6分

∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁⊥B₁ C，  

设：AC=2a，则

…………………………8分

同理，…………………………………9分

∵ BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AB，

………………………………10分