如图，已知A是椭圆上的一个动点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F₂，当AB⊥x轴时，恰好有|AF₁|=3|AF₂|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆的左顶点，PA，PB分别与椭圆右准线交与M，N两点，求证：以MN为直径的圆D一定经过一定点，并求出定点坐标．

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如图，已知A是椭圆上的一个动点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F₂，当AB⊥x轴时，恰好有|AF₁|=3|AF₂|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆的左顶点，PA，PB分别与椭圆右准线交与M，N两点，求证：以MN为直径的圆D一定经过一定点，并求出定点坐标．

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

A

C

B

C

B

C

C

A

A

D

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

13、　－1　　　　14、　　　24/5　　　15、　16/3　　　　　16、　① ②

解：由 得 P ( 1,－1)

   据题意，直线l与直线垂直，故l斜率

   ∴ 直线l方程为   即 .      

解：连结PO，得

当PO通过圆心时有最大值和最小值

解：设生产甲、乙两种肥料各车皮，利润总额为元，那么

画图得当时总额的最大值为30000

解：（1）

（2）或0

解：（1）设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）,AB的方程为y-1=k(x-2) 即y=kx+1-2k①

  ∵离心率e=∴椭圆方程可化为②

将①代入②得（1+2k²）x²+4(1-2k)?kx+2(1-2k)²-2b²=0

∵x₁+x₂=    ∴k=-1

∴x₁x₂=  又  ∴

即   ∴b²=8     ∴

(2)设（不妨设m<n）则由第二定义知

即    或

∴         或

解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),

   设 P ( x, y ),  C ( x₀, y₀ ) ,  则 D (x₀, －y₀ ),

   由A、C、P三点共线得                    ①

   由D、B、P三点共线得                    ②

①×② 得                              ③

又 x₀² + y₀² = 1,   ∴ y₀² = 1－x₀²   代入③得  x²－y² = 1，

即点P在双曲线x²－y² = 1上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (－, 0 )、

F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE |－| PF | | = 2  (即此双曲线的实轴长) 为定值.