如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点O顺时针旋转30⁰（坐标轴的长度单位不变）构成一个斜坐标系xOy，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标（x，y）用如下方式定义：过P作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox于点M，Oy于点N，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y．在斜坐标系中，若A，B两点的坐标分别为（1，2），（-2，3），则线段AB的长为

7

7

．

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在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值．

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在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCD的长为4，宽为2．AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形纸片沿直线折叠，使点A落在边CD上，记为点A'，如图所示．
（1）设A'的坐标是（2a，2）（0≤a≤2），写出折痕所在直线的方程；
（2）若折痕经过B时，求折痕所在直线的斜率，并写出以折痕为直径的圆方程．

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．   2．   3．   4．   5．1   6．  7．  8． 9．16   10．8　  11．  12．   13．  14． ①③

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．(1)设集合中的点为事件，  区域的面积为36，  区域的面积为18

．

（2）设点在集合为事件，  甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36个，其中在集合中的点有21个，故．

16．（1）由4sinB ? sin²+ cos2B = 1 +得：

，          或．

（2）法1：为锐角          

由已知得：， 角为锐角      可得：

由正弦定理得：．

法2：由得：，  由余弦定理知：

即：          ．

17．（1）证明：连接，取中点，连接．

在等腰梯形中，∥，AB=AD，，E是BC的中点

与都是等边三角形   

平面    平面

平面    ．

（2）证明：连接交于点，连接

∥，且＝    四边形是平行四边形   是线段的中点

是线段的中点      ∥

平面   平面．

（3）与平面不垂直．

证明：假设平面，  则

平面  

，平面    平面   

，这与矛盾

与平面不垂直．

18．（1）设椭圆的标准方程为

依题意得：，得   ∴  所以，椭圆的标准方程为．

（2）设过点的直线方程为：，代入椭圆方程得;

  (*)

依题意得：，即 

得：，且方程的根为  

当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点，

直线的方程是：，  

所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为：

同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：．

（3）设，由=得：，代入

（**）    要证=，即证

由方程组（**）可知方程组（1）成立,(2)显然成立．∴=

19.．解（1）的解集有且只有一个元素，

当a=4时，函数上递减

故存在，使得不等式成立

当a=0时，函数上递增

故不存在，使得不等式成立

综上，得a=4，…………………………5分

（2）由（1）可知

当n=1时，

当时，

（3），

…

+

               =+>

               >    

20解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于

（对所有实数）这又等价于，即

对所有实数均成立.        （*）

  由于的最大值为，

  故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件

（2）分两种情形讨论

     （i）当时，由（1）知（对所有实数）

则由及易知，

再由的单调性可知，

函数在区间上的单调增区间的长度

为（参见示意图1）

（ii）时，不妨设，则，于是

   当时，有，从而；

当时，有

从而  ；

当时，，及，由方程

      解得图象交点的横坐标为

                          ⑴

显然，

这表明在与之间。由⑴易知

综上可知，在区间上，   （参见示意图2）

故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。