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    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题12分）本某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对400名高一学生的一周课外体育锻炼时间进行调查，结果如下表所示：

    锻炼时间（分钟）

    人数

    40

    60

    80

    100

    80

    40

    （1）完成频率分布直方图，并估计该中学高一学生每周参加

    课外体育锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该区间的组中值作代表）；

    （2）现采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，

    ①应抽取多少名课外体育锻炼时间为分钟的学生；

    ②若从①中被抽取的学生中随机抽取2名，求这2名学生课外体育锻炼时间均为分钟的概率。

     

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    （本小题12分）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

     

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    （本小题12分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得x∈[10,1000]万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

    （Ⅰ）若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型

    的基本要求；

    （Ⅱ）现有两个奖励函数模型：(i) y＝；(ii) y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型

    是否符合公司要求？

     

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    （本小题12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度的一次函数．

    （Ⅰ）当时，求函数的表达式；

    （Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）

     

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    （本小题12分）

    一海轮以20海里/小时的速度向正东航行，它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向上。求：

    ①  船在B点时与灯塔P的距离。

    ②  已知以点P为圆心，55海里为半径的圆形水城内有暗礁，那么这船继续向正东航行，有无触礁的危险？

     

     

     

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    一、1 B     2 D    3 A   4 D     5 D     6 B   

    7 A     8  A   9 C   10 D    11 B    12 B

       二、13、3      14、-160    15、     16、  

       三、17、解: (1)     …… 3分

         的最小正周期为                        ………………… 5分

    (2) ,          …………………  7分     

                            ………………… 10分

                                    ………………… 11分

     当时,函数的最大值为1,最小值 ………… 12分

     18、（I）解：设这箱产品被用户拒绝接收事件为A,被接收为，则由对立事件概率公式

       得：

    即这箱产品被用户拒绝接收的概率为           …………   6分

    （II）                

                                       ………… 10分

    1

    2

    3

    P

                                                              …………11分

    ∴ E=                                  …………12分

    19、解法一：

    （Ⅰ）连结B1C交BC于O，则O是BC的中点，连结DO。

    ∵在△AC中，O、D均为中点，

    ∴A∥DO   …………………………2分

    ∵A平面BD，DO平面BD，

    ∴A∥平面BD。…………………4分

    （Ⅱ）设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。

        ∵∠DC = 60°，∴C= 。

    作DE⊥BC于E。

    ∵平面BC⊥平面ABC，

    ∴DE⊥平面BC

    作EF⊥B于F，连结DF，则 DF⊥B

    ∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角……………………………………8分

    在Rt△DEC中，DE=

    在Rt△BFE中，EF = BE?sin

    ∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

    ∴二面角D－B－C的大小为arctan………………12分

    解法二：以AC的中D为原点建立坐标系，如图，

    设| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C| = 。

         则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），

    （1，0）， ，

    （Ⅰ）连结C交B于O是C的中点，连结DO，则                  O.       =

    ∵A平面BD，

    ∴A∥平面BD.……………………………………………………………4分

    （Ⅱ）=（-1，0，），

           设平面BD的法向量为n = （ x , y , z ），则

           即  则有= 0令z = 1

    则n = （，0，1）…………………………………………………………8分

           设平面BC的法向量为m = ( x′ ,y′，z′)

     

    ′

    ′

    ′

    ′

          令y = -1，解得m = （，-1，0）

          二面角D ―B―C的余弦值为cos＜n , m＞＝

    ∴二面角D―B―C的大小为arc cos          …………１２分

    20、解: 对函数求导得: ……………2分

    (Ⅰ)当时,                   

    令解得 或

      解得

    所以, 单调增区间为，,

    单调减区间为(-1,1)                                    ……………5分

    (Ⅱ) 令,即,解得或     ………… 6分

    由时,列表得：

     

    x

    1

    +

    0

    －

    0

    +

    极大值

    极小值

    ……………8分

    对于时，因为,所以，

    ∴>0                                                    …………   10 分

    对于时，由表可知函数在时取得最小值

    所以，当时，                              

    由题意，不等式对恒成立，

    所以得，解得                          ……………12分

    21、解： （I）依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其相应准线,

    离心率为的椭圆

    设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

    又，，∴点在x轴上,且,则3，

    解之得：,     

    ∴坐标原点为椭圆的对称中心 

    ∴动点M的轨迹方程为：                 …………    4分

    （II）设,设直线的方程为（－２〈n〈2）,代入得

                         ………… 5分

    , 

         …………  6分

    ，K（2，0）,,

    ,

     

    解得: (舍)      ∴ 直线EF在X轴上的截距为    …………8分

    （Ⅲ）设,由知, 

    直线的斜率为                …………    10分

    当时,;

    当时,,

    时取“=”）或时取“=”），

                                    

    综上所述                         …………  12分  

    22、（I）解：方程的两个根为，，

    当时，，所以；

    当时，，，所以；

    当时，，，所以时；

    当时，，，所以．    …………  4分

    （II）解：

    ．                        …………  8分

    （III）证明：，

    所以，

    ．                       …………  9分

    当时，

    ，

                                             …………  11分

    同时，

    ．                                    …………  13分

    综上，当时，．                     …………  14分

     


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