如图，已知⊙中，直径垂直于弦，垂足为，是延长线上一点，切⊙于点，连接交于点，证明：

【解析】本试题主要考查了直线与圆的位置关系的运用。要证明角相等，一般运用相似三角形来得到，或者借助于弦切角定理等等。根据为⊙的切线，∴为弦切角

连接   ∴…注意到是直径且垂直弦，所以 且…利用，可以证明。

解:∵为⊙的切线，∴为弦切角

连接   ∴……………………4分

又∵  是直径且垂直弦  ∴   且……………………8分

∴     ∴

 

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点.

（1）求证：DE∥平面PFB；

（2）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】(1)证：DE//BF即可；

（2）可以利用向量法根据二面角P-BF-C的余弦值为,确定高PD的值，即可求出四棱锥的体积.也可利用传统方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角时，要考虑运用三垂线或逆定理.

 

在棱长为的正方体中,是线段的中点,.

(1) 求证:^；

(2) 求证://平面；

(3) 求三棱锥的表面积.

【解析】本试题考查了线线垂直和线面平行的判定定理和表面积公式的运用。第一问中，利用，得到结论，第二问中，先判定为平行四边形，然后，可知结论成立。

第三问中，是边长为的正三角形，其面积为，

因为平面，所以，

所以是直角三角形，其面积为，

同理的面积为， 面积为.  所以三棱锥的表面积为.

解: (1)证明：根据正方体的性质，

因为，

所以，又，所以，，

所以^.               ………………4分

(2)证明：连接，因为，

所以为平行四边形，因此，

由于是线段的中点，所以，      …………6分

因为面，平面，所以∥平面.   ……………8分

(3)是边长为的正三角形，其面积为，

因为平面，所以，

所以是直角三角形，其面积为，

同理的面积为，              ……………………10分

面积为.          所以三棱锥的表面积为