题目列表(包括答案和解析)
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甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，
甲运动员
| 射击环数 | 频数 | 频率 |
| 7 | 10 | 0.1 |
| 8 | 10 | 0.1 |
| 9 |
| 0.45 |
| 10 | 35 |
|
| 合计 | 100 | 1 |
乙运动员
| 射击环数 | 频数 | 频率 |
| 7 | 8 | 0.1 |
| 8 | 12 | 0.15 |
| 9 |
| |
| 10 | 0.35 | |
| 合计 | 80 | 1 |
若将频率视为概率，回答下列问题，
（1）求甲运动员击中10环的概率
（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率
（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，
表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及
.
甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如
下，
甲运动员
| 射击环数 | 频数 | 频率 |
| 7 | 10 | 0.1 |
| 8 | 10 | 0.1 |
| 9 |
| 0.45 |
| 10 | 35 |
|
| 合计 |
| 1 |
乙运动员
| 射击环数 | 频数 | 频率 |
| 7 | 8 | 0.1 |
| 8 | 12 | 0.15 |
| 9 |
| |
| 10 | 0.35 | |
| 合计 | 80 | 1 |
若将频率视为概率，回答下列问题，
（1）求甲运动员击中10环的概率
（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率
（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，
表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及
.
甲乙两班进行一门课程的考试，按照学生考试成绩的优秀和不优秀统计后得到如右的
列联表：
|
|
优秀 |
不优秀 |
总计 |
|
甲班 |
15 |
35 |
50 |
|
乙班 |
10 |
40 |
50 |
|
总计 |
25 |
75 |
100 |
（1）据此数据有多大的把握认为学生成绩优秀与班级有关?
（2）用分层抽样的方法在成绩优秀的学生中随机抽取5名学生，问甲、乙两班各应抽取多少人
（3）在(2)中抽取的5名学生中随机选取2名学生介绍学习经验， 求至少有一人来自乙班的概
率．(
，其中
)
|
|
0.50 |
0.40 |
0.25 |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
|
|
0.455 |
0.708 |
1.323 |
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8． A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．
点
10．
11. 6 , 60
12．
13．
14． 
,
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15. （本小题满分13分）
解:（Ⅰ）设等比数列
的公比为
,依题意有
, (1)
又
,将(1)代入得
.所以
. ……………3分
于是有
………………4分
解得
或
………………6分
又是递增的,故
. ………………7分
所以
.
………………9分
(Ⅱ)
.
…………………11分
故
.
………………13分
16.(本小题满分13分)
解:（Ⅰ）在△
中,由
得
.
所以
.
…………………5分
（Ⅱ）由
得
. ………………………………….9分
又
,
=
;
………………………11分
于是有
,解得
.
……………………………13分
 |
17．（本小题满分14分）
解法一：（Ⅰ）∵正方形
，∴
又二面角
是直二面角，
∴
⊥平面
.
∵
平面，
∴⊥.
又
，
，是矩形，
是
的中点，
∴
=
，
，
=
，
∴⊥
又
=
，
∴⊥平面
，
而平面
，故平面⊥平面.
……………………5分
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知平面⊥平面，且交于
，在平面内作
⊥，垂足为
，则⊥平面.
∴∠
是
与平面所成的角.
∴在Rt△
中,=
.
.
即与平面所成的角为
.
………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ），⊥平面.作
⊥
，垂足为
，连结
，则⊥，
∴∠
为二面角
的平面角.
…………….11分
∵在Rt△中，=
，在Rt△中，
.
∴在Rt△中，
即二面角的大小为arcsin
. ………………………………14分
解法二：
如图，以为原点建立直角坐标系
，
则（0，0，0），（0，2，0），
（0，2，2），（，，0），
（，0，0）.
（Ⅰ）
=（，，0），
=（，
，0）,
=（0，0，2），
∴?=（，，0）?（，，0）=0,
? =（，，0）?（0，0，2）= 0.
∴⊥，⊥
，
∴⊥平面，又平面，故平面
⊥平面. ……5分
（Ⅱ）设
与平面所成角为
.
由题意可得=（，，0），
=（0，2，2 ），=（，，0）.
设平面的一个法向量为
=（
，
，1），
由
.
.
∴与平面所成角的大小为
.
……………..9分
（Ⅲ）因=（1，－1，1）是平面的一个法向量，
又
⊥平面，平面的一个法向量
=（，0，0），
∴设与的夹角为
，得
，
∴二面角的大小为
.
………………………………14分
18. （本小题满分13分）
解: (Ⅰ)由已知甲射击击中8环的概率为0.2,乙射击击中9环的概率为0.4,则所求事件的概率
.
………………4分
(Ⅱ) 设事件表示“甲运动员射击一次,击中9环以上(含9环)”, 记“乙运动员射击1次,击中9环以上(含9环)”为事件,则
.
………………………6分
.
………………………8分
“甲、乙两运动员各自射击两次,这4次射击中恰有3次击中9环以上(含9环)”包含甲击中2次、乙击中1次,与甲击中1次、乙击中2次两个事件,显然,这两个事件互斥.
甲击中2次、乙击中1次的概率为
;
……………………..10分
甲击中1次、乙击中2次的概率为
.
…………………12分
所以所求概率为
.
答: 甲、乙两运动员各自射击两次,这4次射击中恰有3次击中9环以上的概率为
. ……….13分
19．（本小题满分14分）
解: (Ⅰ) 由已知
, 又圆心
,则
.故
.
所以直线
与
垂直.
………………………3分
(Ⅱ) 当直线与轴垂直时,易知
符合题意; ………………4分
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为
. …………5分
由于
,所以
由
,解得
.
………………7分
故直线的方程为或
.
………………8分
(Ⅲ)当与轴垂直时,易得
,
,又
则
,故
.
………………10分
当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得
.则
,即
,
.又由
得
,
则
.
故
.
综上,
的值与直线的斜率无关,且. …………14分
另解一:连结
,延长交于点
,由(Ⅰ)知
.又
于
,
故△
∽△
.于是有
.
由
得
故
………………………14分
另解二:连结并延长交直线于点,连结
由(Ⅰ)知
又,
所以四点
同步练习册答案
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