（1）证明：；
（2）当点为线段的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）试问E点在何处时，平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为．

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如图，A₁A⊥面ABCD，将四边形ABCD沿平移至A₁B₁C₁D₁，∠ADC＝90°，△ABC为等边三角形，且AA₁＝AD＝DC＝2．

(Ⅰ)求异面直线AC₁与BC所成的角余弦值；

(Ⅱ)求证：BD⊥平面ACC₁；

(Ⅲ)设M是线段BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D．

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如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（Ⅰ）证明：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D₁E所成角的余弦值；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

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一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1．；  2．；   3．；  4．；  5． 11；  6． 210； 7． 16；   8． 3；  9．； 10．； 11． 7； 12．； 13．；  14．（结果为，不扣分）.

二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）

15．（本小题满分14分）

解：（1）50；0.04；0.10 ．    ………… 6分

       （2）如图．      ……………… 10分

       （3）在随机抽取的名同学中有名

出线,．      …………… 13分

答：在参加的名中大概有63名同学出线．      

   ………………… 14分

16．（本小题满分14分）

解：真，则有，即．                    ------------------4分

真，则有，即．     ----------------9分

若、中有且只有一个为真命题，则、一真一假．

①若真、假，则，且，即≤；   ----------------11分

②若假、真，则，且，即3≤．    ----------------13分

故所求范围为：≤或3≤．                          -----------------14分

17．（本小题满分15分）

解：（1）设在（1）的条件下方程有实根为事件．

数对共有对．                                   ------------------2分

若方程有实根，则≥，即．                 -----------------4分

则使方程有实根的数对有 共对．                                                         ------------------6分

所以方程有实根的概率．                          ------------------8分

（2）设在（2）的条件下方程有实根为事件．

，所以．

-------------10分

方程有实根对应区域为，．          --------------12分

所以方程有实根的概率．------------------15分

18．（本小题满分15分）

解：（1）易得

．当时，在直角中，，故．所以，．     ------------4分

所以．

所以异面直线与所成角余弦值为．- -----7分

（2）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为.

则由．得可取，-------11分

， ，------------13分

，，． ，．

即直线与平面所成角的取值范围为．         ------------------------15分

19．（本小题满分16分）

解：（1）设关于l的对称点为，则且，

解得，，即，故直线的方程为．

由，解得．                       ------------------------5分

（2）因为，根据椭圆定义，得

，所以．又，所以．所以椭圆的方程为．                                        ------------------------10分

（3）假设存在两定点为，使得对于椭圆上任意一点（除长轴两端点）都有（为定值），即?，将代入并整理得…（＊）．由题意，（＊）式对任意恒成立，所以，解之得 或．

所以有且只有两定点，使得为定值．   ---------------16分

20．（本小题满分16分）

解：（1）．                        ------------------------2分

因为，令得；令得．所以函数的增区间为，减区间为．                                           ------------------------5分

（2）因为，设，则．----------6分

设切点为，则切线的斜率为，切线方程为即，由点在切线上知，化简得，即．

所以仅可作一条切线，方程是．              ------------------------9分

（3），．                  

在上恒成立在上的最小值．--------------11分

①当时，在上单调递减，在上最小值为，不符合题意，故舍去；               ------------------------12分

②当时，令得．

当时，即时，函数在上递增，的最小值为；解得．                                       ------------------------13分

当时，即时，函数在上递减，的最小值为，无解；                                                -----------------------14分

当时，即时，函数在上递减、在上递增，所以的最小值为，无解．                ------------------------15分

综上，所求的取值范围为．                     ------------------------16分