（13分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．

    （1）若，，试解释它们的实际意义；

    （2）设，，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？

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1―5 BCDAB                6―10 CDBCB

11．    12．     13．13    14．    15．

16．（1）

由题，或，或， 又，

故或．

   （2）当时，，

按向量平移后得到函数的图象，故．

17．（1）当时，，即有

又，

是公比为3的等比数列，且，故．

   （2）由（1），，又，

依题成等比数列，有，

解得或，因的各项均为正数，

，故．

18．（1）证明：是正数，由重要不等式知，

故（当时等号成立）．

   （2）若，不等式仍然成立．

证明：由（1）知，当时，不等式成立；当时，，

而

此时不等式仍然成立．

19．（1）记数列的前项和为，则依题有

，故

故数列的通项为．故，易知，．

   （2）假设存在实数，使得当时，

对任意恒成立，

则都成立，

20．（1）表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；

   表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.

   （2）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，

依题意，当且仅当成立．

故，则，得

故

即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元的宣传费用．

21．（1）显然，在[0，1]满足①；满足②；

对于③，若，

则

 ．故适合①②③．

   （2）由③知，任给时，当时，

由于，所以

若，则 前后矛盾

若，则 前后矛盾

故得证．