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    19．设动点到定点的距离比它到轴的距离大．记点的轨迹为曲线 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分12分）

    设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，

    ∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ．

       （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

       （2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两

    点,试确定λ的范围,使·＝0,其中点

    O为坐标原点．

                              

     

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    （本小题满分12分）
    设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，
    ∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ．
    （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
    （2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两
    点,试确定λ的范围,使·＝0,其中点
    O为坐标原点．

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    （本小题满分12分）已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为3.
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）已知圆,直线.试证明：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得弦长的取值范围.
    （Ⅲ）设直线与椭圆交于两点，若直线交轴于点，且，当变化时，求 的值；   

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    （本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.

    （1）求曲线C1的方程；

    （2）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于

    点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

     

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    （本小题满分12分）

    为了加快经济的发展，某市选择A、B两区作为龙头带动周边地区的发展，决定在A、B两区的周边修建城际快速通道，假设A、B两区相距个单位距离，城际快速通道所在的曲线为E，使快速通道E上的点到两区的距离之和为4个单位距离.

       （Ⅰ）以线段AB的中点O为原点建立如图所示的直角坐标系，求城际快速通道所在曲线E的方程；

       （Ⅱ）若有一条斜率为的笔直公路l与曲线E交于P，Q两点，同时在曲线E上建一个加油站M（横坐标为负值）满足,求面积的最大值．                                

     

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    一、选择题：BBCCD    CCBDC　

    二、填空题：

    11. －  12.   13．；　14．；;　15．

    三、解答题：

    16．解（1）f(x)＝asinωx－acosωx＝2asin(ωx－)

    由已知知周期T＝－＝π，    　故a＝1，ω＝2；……………………6分

    （2）由f(A)＝2，即sin(2A－)＝1，又－＜2A－＜，    则2A－＝，解得A＝＝600…8分

    故＝＝ ＝＝＝2．……12分

    17．A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格，则

    （1）至少有一人合格的概率P=1－P（）=          4分

    （2）可能取值0，1，2，3                                         5分

    ∴分布列为                                                   

    0

    1

    2

    3

     P

       9分

     

     

     

                                  12分

    18解：（1）连接，交于点，连接，

    则在正方形中，又，，

    故在△中，

    又平面，平面，所以，平面

    （2）面，四边形为正方形，故以点为原点，

    为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

    则，

    ，，

    面，是面的一个法向量

    设是平面的一个法向量，则，且，

    ，取，得，

    此时，向量和的夹角就等于二面角的平面角

       二面角的余弦值为

    19．解：（1）依题意，到距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线                                                （2分）

      曲线方程是                                     （4分）

    （2）设圆心，因为圆过

    故设圆的方程                       （7分）

    令得：

    设圆与轴的两交点为，则  （10分）

    在抛物线上，    （13分）

    所以，当运动时，弦长为定值2                           （14分）

    20．方程tan2πx－4tanπx＋＝(tanπx－1)(tanπx－)＝0

    得tanπx＝或tanπx＝

    （1）当n＝1时，x∈[0，1)，即πx∈[0，π)

    由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝或πx＝            

    故a1＝＋＝；………………2分

    当n＝2时，x∈[1，2)，则πx∈[π，2π)

    由tanπx＝或tanπx＝，得πx＝或πx＝       

    故a1＝＋＝………………4分

    当x∈[n－1，n)时，πx∈[(n－1)π，nπ)

    由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝＋(n－1)π或πx＝＋(n－1)π

    得x＝＋(n－1)或x＝＋(n－1)，     

    故an＝＋(n－1)＋＋(n－1)＝2n－………6分

    （2）由（1）得bn＋1≥a＝2bn－……………………8分

    即bn＋1－≥a＝2(bn－)≥22(bn－1－)≥…≥2n(b1－)＝2n－1＞0……10分

    则≤，即≤

    ＋＋…＋≤1＋＋…＋＝2－＜2．……12分

    21．解：（1）函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，

    ∴f /(x)＝3ax2＋c，则

    故f(x)＝－x3＋x；………………………………4分

    （2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－)

    ∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，]上是减函数，

    由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　

    如图所示，

    当－1＜m＜0时，f(x)max＝f(－1)＝0；

    当0≤m＜时，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，

    当m≥时，f(x)max＝f()＝．

    故f(x)max＝．………………9分

    （3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2，

    又令t＝xy，则0＜t≤k2，

    故函数F(x)＝g(x)?g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

                 　＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k2]

    当1－4k2≤0时，F(x)无最小值，不合

    当1－4k2＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，

    且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立，

    必须，

    故实数k的取值范围是(0，)]．………………14分

     

     


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