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    (Ⅱ)证明:对一切.都有成立. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （1）证明下列命题：
    已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
    （2）利用（1）的结论解决下列各问题：
    ①若对于-6≤x≤4，不等式2x+20＞k2x+16k恒成立，求实数k的取值范围．
    ②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞-1．

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    已知数列{an}和{bn}，对一切正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3n+1-2n-3成立．
    （Ⅰ）如果数列{bn}为常数列，bn=1，求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）如果数列{an}的通项公式为an=n，求证数列{bn}是等比数列．
    （Ⅲ）如果数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由．

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    已知数列{an}和{bn}，对一切正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3n+1-2n-3成立．
    （Ⅰ）如果数列{bn}为常数列，bn=1，求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）如果数列{an}的通项公式为an=n，求证数列{bn}是等比数列．
    （Ⅲ）如果数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由．

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    如果正数数列{an}满足：对任意的正数M，都存在正整数n0，使得an0＞M，则称数列{an}是一个无界正数列．
    （Ⅰ）若an=3+2sin（n）（n=1，2，3，…），bn=
    1
    n
    		n=1，3，5，…
    n+1
    2
    		n=2，4，6，…
    分别判断数列{an}、{bn}是否为无界正数列，并说明理由；
    （Ⅱ）若an=n+2，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，有
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    an
    an+1
    ＜n-
    1
    2
    成立；
    （Ⅲ）若数列{an}是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m，使得
    a1
    a2
    +
    a2
    a3
    +…+
    am
    am+1
    ＜m-2009    ．

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    已知正项数列中，对于一切的均有成立。

    （1）证明：数列中的任意一项都小于1；

    （2）探究与的大小，并证明你的结论.

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    一、BCBBA    BCDCB    DB

    二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

    13        14 ..4        15.      16. （2，3）

    三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    17. （本大题共10分）

    解：由于y=2x是增函数，等价于

    .    ①…………………………………  2分

        (i) 当x≥1时，|x+1|－|(x－1)|=2.…………………………………… 5分

    ∴①式恒成立.

        (ii) 当－1<x<1时，|x+1|－|x－1|=2x，

    ①式化为即………………………………… 8分

        (iii)当x≤－1时，|x+1|－|x－1|=－2,

    ①式无解.

    综上， x取值范围是.………………………………     10分

    18. （本小题满分12分）

    ．解：（1），，且.

    ，即，又，……..2分

    又由，                            5分

       （2）由正弦定理得：，               7分

    又，

    …………9分

    ，则.则，

    即的取值范围是…………………                   12分

    19.（本小题满分12分）

    （1）解：设“射手射击1次，击中目标”为事件A

    则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率

    =                     7分

    （2）解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率

                                  12分

    20. (本小题满分12分)

    （Ⅰ）解：，令，得.          2分

    0

    增

    极大值

    减

    由上图表知：

    的单调递增区间为，单调递减区间为.

    的极大值为.                                5分

       （Ⅱ）证明：对一切，都有成立

    则有

    由（Ⅰ）知，的最大值为，

    并且成立，                                    8分

    当且仅当时成立，

    函数的最小值大于等于函数的最大值，

    但等号不能同时成立.

        所以，对一切，都有成立.        12分

    21．（本小题满分12分）

    （Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立

    ∴   （n ≥ 2）②  

    ①--②得

    ∴

    ∵均为正数，∴   （n ≥ 2）

    ∴数列是公差为1的等差数列                

    又n=1时，， 解得=1

    ∴.()                         ……………4分

    （Ⅱ）(解法一)由已知  ，      

            

            易得　

            猜想 n≥2 时，是递减数列.             

    令

    ∵当

    ∴在内为单调递减函数.

    由.

    ∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.

    又 , ∴数列中的最大项为.    ……………   6分

     (解法二) 猜测数列中的最大项为. 

    易直接验证;

    以下用数学归纳法证明n≥3 时,

           (1)当时, , 所以时不等式成立;

           (2)假设时不等式成立,即,即,

    当时, ,

    所以,即时不等式成立.

    由(1)(2)知对一切不小于3的正整数都成立.

    ……………      8分

    (Ⅲ)(解法一)当时,可证:          …………… 10分

       ……………        12分

      (解法二) 时,  ……8分

       

                                                 …………… 12分

    注:也可分段估计,转化为等比数列求和(也可加强命题,使用数学归纳法)

     

    22．（本小题满分12分）

    解：（I）由

           故的方程为点A的坐标为（1，0）                      2分

           设

           由

           整理                                                4分

        动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，

    长轴长为，短轴长为2的椭圆。                               5分

    （II）如图，由题意知的斜率存在且不为零，                            

           设方程为①

           将①代入，整理，得

                      7分

           设、，

           则  ②

           令

           由此可得

           由②知

          

           ，

           即                                          10分

          

          

           解得

           又

           面积之比的取值范围是            12分

     

     

     

     

     

     


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