抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点C，顶点为D，以BD为直径的⊙M恰好过点C．
（1）求顶点D的坐标（用a的代数式表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

抛物线y=ax²-4ax+b经过A（1，0），F（4，-3），与y轴交于点C，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，连接PC，将线段PC绕着P点逆时针旋转90°至线段PC₁，使得C₁落在抛物线上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D是抛物线在x轴上方部分的一点，过D作DE∥AC与y轴交于E，且四边形ACED是等腰梯形，求出D的坐标．

抛物线y=-x²+2bx-（2b-1）（b为常数）与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＞x₁＞0）两点，设OA•OB=3（O为坐标系原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，抛物线的对称轴交x轴于点D，求证：点D是△ABC的外心；
（3）在抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线y=a（x+6）²-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE²=3DE．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线的解析式y=ax²+bx+c满足如下四个条件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-3；a＜b＜c
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．
①在第一象限内，这条抛物线上有一点P，AP交y轴于点D，当OD=1.5时，试比较S_△APC与S_△AOC的大小．
②在x轴的上方，这条抛物线上是否存在点Pn，使得S_△APnC=S_△AOC？若存在，请求出点Pn的坐标；若不存在，请说明理由．