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设F₁、F₂分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点。
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。

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一、选择题：BDCCB   BADCA

二、填空题：    11.  2            12.     

13.       14.

三、解答题：

15、解：依题意得：（1）=0，解之得m=0或m=3

∴当m=0或m=3时，复数是实数； ……………4分

（2）≠0，解之得m≠0且m≠3

∴当m≠0且m≠3时，复数是虚数；……………8分

（3），解之得m=3

∴当m=3时，复数是纯虚数.      ……………12分

16、解：（1）∵      ∴  两边平方相加，

得   即  ．       ………………4分

∴曲线是长轴在x轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆．   ………6分

（2）∵∴由代入，

得 ∴                     ……………10分

∴它表示过（0，）和(1, 0)的一条直线．               …………12分

17、解：(Ⅰ)，                                  ………1分

.                               ………2分

            ，.                            ………4分

        椭圆的方程为，                       ………5分

因为                               ………6分

所以离心率.                           ………8分

(Ⅱ)设的中点为，则点.           ………10分

又点K在椭圆上，则中点的轨迹方程为  ………14分

18、解：（1）列出2×2列联表

说谎

不说谎

合计

女生

15

5

20

男生

10

20

30

合计

25

25

50

…………6分

（2）假设H₀ ＂说谎与性别无关＂，则随机变量K²的观测值：

　　                ……………10分

∴，而             ……………………12分

所以有99.5%的把握认为＂说谎与性别有关＂．          ……………14分

19、解：（1）

………………4分

（2），0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，

         …………8分

故Y关于x的线性回归方程为 y=3.2x+3.6         ………10分

（3）x=5,y=196(万)

据此估计2005年.该 城市人口总数196(万)            ………14分

20、解：(1)设椭圆的半焦距为，依题意   ………2分

_∴ ，_∴  所求椭圆方程为．         ………4分

（2）设，．

当轴时，．                                ………5分

当与轴不垂直时，设直线的方程为．        ………6分

由已知，得．                 ………7分

把代入椭圆方程，整理得，………8分

，．………10分

．     ………12分

当且仅当，即时等号成立．当时，，

综上所述．                                      ………13分

当最大时，面积取最大值．………14分