把两块全等的直角三角形ABC和DEF 叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O 重合，其中∠ABC=∠DEF=90^。，∠C=∠F=45^。，AB=DE=4把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q。
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ，此时AP﹒CQ的值为（    ）。将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α。 其中0^。<α<90^。 ，则 AP﹒CQ的值是否会改变？答：（   ）（填“会”或“不会”）此时AP﹒CQ的值为（     ）（不必说明理由）
（2）在（1）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式.（图2、图3供解题用）
（3）在（1）的条件下，PQ能否与AC平行？若能，求出y的值；若不能，试说明理由。

直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC=∠CFA=∠α。
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且点E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图（1），若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF______|BE-AF|（填 “<”“>”或“=”）；
②如图（2），当0°<∠BCA< 180°时，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是____；
（2）如图（3），若直线CD经过∠BCA的外部，且∠α=∠BCA，请探究EF、BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明。

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°<θ<90°）现把小棒依次摆放在两射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，
活动一：如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒，数学思考：   
（1）小棒能无限摆下去吗？答：（     ）（填“能”或“不能”）
（2）设AA₁= A₁A₂= A₂A₃=1.    
 ①θ=（     ）；  
 ②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n 为正整数，如A₁A₂ =a，A₃A₄=a₂），
求此时a₂，a₃ 的值，并直按写出a_n（用含n 的式子表示）                           
活动二：如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A_lA₂为第1根小棒，
且A_lA₂=AA₁ ，数学思考：    
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ₁ =（     ）；θ₂ =（     ）；θ₃ =（     ）；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围。

设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α，则