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已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为且经过点．M为椭圆上的动点，以M为圆心，M为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

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已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，探究：直线是否过定点，并说明理由.

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已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

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一、选择题

       1．Ｃ            2．Ｂ            3．Ｂ            4．Ｄ                   5．B              6．Ｃ    

7．Ｄ            8．Ｃ       9．C       10．C

二、填空题

       11．           12．                  13．                   14．2            15．30°

三、解答题

16．解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，

由为锐角三角形得．………………………………………………7分

（Ⅱ）根据余弦定理，得．

所以，．………………………………………………14分

17．解：（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．

，

．………………………………………………7分

（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．

则．

，．

．……………………………………14分

18．解法一：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．

因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得．………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

依题设，

故，由，，．

又，作，垂足为，

则平面，连结．为直线与平面所成的角．

所以，直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分

解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．

因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

因为，，

又，所以，

，．

，，，，所以．…………………7分

（Ⅱ），.

与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．

，，

所以，直线与平面所成角的正弦值为．………………………14分

19．解：（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．………………………14分

20．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得，．

所以，

．………………………6分

（Ⅱ）．

，①

，②

②－①得，

．………………………12分

21．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，

故，

所以，．………………………6分

（Ⅱ）（?）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则

，，

；

因为与相交于点，且的斜率为．

所以，．

四边形的面积

．

当时，上式取等号．………………………10分

（?）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．……………………11分

综上，四边形的面积的最小值为．………………………12分