53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB过抛物线x²＝2py(p>0)的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．

　　 (1)求·的取值范围；

　　 (2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．

　　 求证：·＝0，∥．

52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，

　 (1)求双曲线的离心率e；

　 (2)若此双曲线过C(2，)，求双曲线的方程；

　 (3)在(2)的条件下，D₁、D₂分别是双曲线的虚轴端点(D₂在y轴正半轴上)，过D₁的直线l交双曲线M、N，的方程。

解：(1)四边形F₂ABO是平行四边形

∴四边 形F₂ABO是菱形.

∴

由双曲线定义得

(2)

，双曲线方程为

把点C代入有

∴双曲线方程

(3)D₁(0，－3)，D₂(0，3)，设l的方程为

则由

因l与与双曲线有两个交点，

故所求直线l方程为

51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.

(1)设(为原点)，求点的轨迹方程；

(2)若直线的倾斜角为60°，求的值.

解：(1)设

　　 由，易得右焦点　　　　　 ----------(2分)

当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为

代入E有;　 ----(5分)

于是　;　

消去参数得而也适上式，故R的轨迹方程是-(8分)

(2)设椭圆另一个焦点为，

在中设，则

由余弦定理得

同理，在，设，则

也由余弦定理得

于是　　　　　　　　　 ---------(12分)

50、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足.

　 (1)求线段PP′中点M的轨迹C的方程；

　 (2)过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以为方向向量的直线上一动点，满足(O为坐标原点)，问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

解：(1)设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P(x₁，y₁)是方程x² +y² =4的圆上的任意一点，则

　　 则有：得，

　　 轨迹C的方程为

　 (1)当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

　　 所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)两点，N点所在直线方程为

　　 由

　　 由△=

　　 即 …　　

　　 即，∴四边形OANB为平行四边形

　　 假设存在矩形OANB，则，即，

　　 即，

　　 于是有　　 得 … 设，

即点N在直线上.

　∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为

49、过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.

　 (1)求证：为定值；

　 (2)若，求动点的轨迹方程.

解：(1)设直线AB：

由得

…………………………………….3分

…………………………………………………………………………………………….7分

(2)，所以四边形BOAM是平行四边形

……………………………………………………………….9分

　　①

　②

由①②及……………………………………………..13分

…………14分

48、已知椭圆是椭圆上纵坐标不为零的两点，若其中F为椭圆的左焦点．

　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．

解：(Ⅰ)由已知，得

………4分

　 (Ⅱ)∵A、B是椭圆上纵坐标不为零的点，

∴A、F、B三点共线，且直线AB的斜率存在且不为0.

又F(－1，0)，则可记AB方程为并整理得

……………………………………6分

显然△>0，设

……………………8分

直线AB的垂直平分线方程为

令x=0，得……………………………………10分

∵“=”号，

∴，

所以所求的取值范围是……………………………………12分

47、(河北省正定中学高2008届一模)已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切.

(1)求椭圆C₁的方程；

(2)设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点F_2­，直线过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF₂垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

(3)设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围.

解：(本小题满分12分)

解：(1)，

　　　　 ∵直线l：x－y+2=0与圆x²+y²=b²相切，∴=b，∴b=，b²=2，∴a³=3.　　 ∴椭圆C₁的方程是　　　　　 ……………………………….(3分)

(2)∵MP＝MF，

∴动点M到定直线l₁：x＝－1的距离等于它的定点F₂(1，0)的距离，

∴动点M的轨迹是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，　　　　　　　　　　　

　∴点M的轨迹C₂的方程为。　　 ………………………………………….(7分)　

(3)Q(0，0)，设，

，　　　　

由得　 ，

，化简得，

当且仅当时等号成立，

，又∵y­₂²≥64，

∴当.　

　　　　 故的取值范围是.…………………………………………….(12分)

46、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知平面上一定点C(4，0)和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且.

　 (1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；

　 (2)设直线与(1)中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D(0，－2)？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.

解：(1)设P的坐标为，由得

(2分) ∴((4分)

化简得　 ∴P点在双曲线上，其方程为(6分)

　 (2)设A、B点的坐标分别为、，

由　 得(7分)

，(8分)

∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即

解得(9分)

∵若以AB为直径的圆过D(0，－2)，则AD⊥BD，∴，

即，(10分)

∴

∴

解得，故满足题意的k值存在，且k值为.

45、(河北衡水中学2008年第四次调考)如图所示，已知圆，定点A(3,0)，M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。

　 (1)求曲线E的方程；

　 (2)求过点Q(2,1)的弦的中点的轨迹方程。

解：(1)∵　

　　 ∴为的中垂线，　　　　　　 …………2分

又因为，所以

所以动点的轨迹是以点和为焦点的椭圆，

且　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

所以曲线的方程为：；　　　　 …………6分

(2)设直线与椭圆交与两点，中点为

由点差法可得：弦的斜率…………8分

由，Q(2,1)两点可得弦的斜率为，…………10分

所以，

化简可得中点的轨迹方程为： …………12分

44、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知曲线的方程为：

　 (1)若曲线是椭圆，求的取值范围；

　 (2)若曲线是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为，求此双曲线的方程.

解：(1)当

它表示椭圆的充要条件是

　 (2)方程表示双曲线的充要条件是：

当

其一条渐近线斜率为：

此时双曲线的方程为：

当，双曲线焦点在y轴上：

其一条渐近线斜率为：

综上可得双曲线方程为：