3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；

2．平面向量数量积的运算律

特别注意：

(1)结合律不成立：；

(2)消去律不成立不能得到；

(3)=0不能得到=或=。

1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；

(2)两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；

(3)在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；

(4)已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；

如右图：×= |||cosb = |||OA|，×c = ||c|cosa = |||OA|Þ× =×，但 ¹；

　(5)在实数中，有(×) = 　(×)，但是(×)¹ 　(×)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。

题型1：数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否：

(1)；

(2)；

(3)若，则；

(4)若，则当且仅当时成立；

(5)对任意向量都成立；

(6)对任意向量，有。

解析：(1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对。

点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。

例2．(1)(2002上海春，13)若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(　　 )

A．　 　　　　　　　 B．

C．m()=m+m　 　　　　　 　　D．

(2)(2000江西、山西、天津理，4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①(·)－(·)=　 ②||－||<|－|　 ③(·)－(·)不与垂直

④(3+2)(3－2)=9||²－4||²中，是真命题的有(　　 )

A.①②　 　　　　　　　　　 B.②③　 　　　　　　　　　　 C.③④　 　　　　　　　　　　 D.②④

解析：(1)答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向。

(2)答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||²－4||²成立。故④真。

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。

题型2：向量的夹角

例3．(1)(06全国1文，1)已知向量、满足、，且，则与的夹角为(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

(2)(06北京文，12)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是　　　　　　　　　　　 。

(3)已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。

(4)(2005北京3)| |=1，| 　|=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

解析：(1)C；(2)；

(3)由题意，，且与的夹角为，

所以，，

，

，

同理可得。

而，

设为与的夹角，

则。

(4)C；设所求两向量的夹角为

　　　 　即：

所以

点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握。

例4．(1)(06全国1理，9)设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则(　　 )

A．－++=　　　　　　　　　　 B．-+=

C．+-=　　　　　　　　　　　 D．++=

(2)(06湖南理，5)已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是(　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

解析：(1)D；(2)B；

点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。

题型3：向量的模

例5．(1)(06福建文，9)已知向量与的夹角为，则等于(　 )

　 A．5　　B．4　　C．3　　D．1

(2)(06浙江文，5)设向量满足,,则(　 )

A．1　　　　　 　　　B．2　　　　　 　　　C．4　　　　　 　　D．5

解析：(1)B；(2)D；

点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。

例6．已知＝(3，4)，＝(4，3)，求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。

解析：由＝(3，4)，＝(4，3)，有x+y=(3x+4y,4x+3y)；

又(x+y)⊥(x+y)·＝03(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y＝0　　　　　　　　　　　 ①；

又｜x+y｜=1｜x+y｜²＝1；

(3x+4y)²+(4x+3y)²＝1；

整理得25x²+48xy+25y²＝1即x(25x+24y)+24xy+25y²＝1　　 ②；

由①②有24xy+25y²＝1　　　　　　　 ③；

将①变形代入③可得：y=±；

再代回①得：。

点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。

题型4：向量垂直、平行的判定

例7．(2005广东12)已知向量，，且，则　　　 。

解析：∵，∴，∴，∴。

例8．已知，，，按下列条件求实数的值。(1)；(2)；。

解析：

(1)；

(2)；

。

点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

题型5：平面向量在代数中的应用

例9．已知。

　　 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。

　　 证明：设

　　 则。

点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。

例10．已知，其中。

　　 (1)求证：与互相垂直；

　　 (2)若与()的长度相等，求。

　　 解析：(1)因为

　　 所以与互相垂直。

　　 (2)，

　　 ，

　　 所以，

　　 ，

　　 因为，

　 　所以，

　　 有，

　　 因为，故，

　　 又因为，

所以。

点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。

题型6：平面向量在几何图形中的应用

例11．(2002年高考题)已知两点，且点P(x，y)使得，成公差小于零的等差数列。

(1)求证；

(2)若点P的坐标为，记与的夹角为，求。

解析：(1)略解：，由直接法得

(2)当P不在x轴上时，

而

所以，当P在x轴上时，，上式仍成立。

图1

点评：由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。

例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A、B重合)，求证：∠APB＝90°。

证明：联结OP，设向量，则且，

，即∠APB＝90°。

点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。

题型7：平面向量在物理中的应用

例13．如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力。

解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。

由正六边形的性质还可求得

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。

2．向量的应用

(1)向量在几何中的应用；

(2)向量在物理中的应用。

1．向量的数量积

(1)两个非零向量的夹角

已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AOA＝θ(0≤θ≤π)叫与的夹角；

说明：(1)当θ＝0时，与同向；

(2)当θ＝π时，与反向；

(3)当θ＝时，与垂直，记⊥；

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。

(2)数量积的概念

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积(或内积)。规定；

向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

(3)数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。

(4)向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：。

②乘法公式成立

；

；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立：；

对实数的结合律成立：；

分配律成立：。

④向量的夹角：cos==。

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0⁰，当且仅当与反方向时θ=180⁰，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

(5)两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量，则·=。

(6)垂直：如果与的夹角为90⁰则称与垂直，记作⊥。

两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。

(7)平面内两点间的距离公式

设，则或。

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测07年高考：

(1)一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。

(2)一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；

2．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

1．平面向量的数量积

①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

(1)向量的加法与减法是互逆运算；

(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；

(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况；

(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系；