1．方程的解集为( )

　 ．　　　 　．　　　 　　．　　　　　 ．

例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，

(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：(1),或，；(2)；(3)．

例2．(1)计算：；

(2)求证：＝++．

解：(1)原式；

证明：(2)右边左边

例3．解方程：(1)；(2)解方程：．

解：(1)由原方程得或，∴或，

　又由得且，∴原方程的解为或

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.

(2)原方程可化为，即，∴，

∴，

∴，解得或，

　经检验：是原方程的解

1 组合数的性质1：．

一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

证明：∵

又 ，∴

说明：①规定：；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；

③此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化.

例如＝＝=2002；

　　 ④或．

2．组合数的性质2：＝+．

一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m -1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

证明： 　

∴＝+．　

说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；

　②此性质的作用：恒等变形，简化运算

10．组合数公式：

或

9．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

7．排列数的另一个计算公式：=

8组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”--无序性；⑶相同组合：元素相同

5．排列数公式：()

6阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．

4．排列数的定义：从个不同元素中，任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

3．排列的概念：从个不同元素中，任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

　　　 1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法