515.　 正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.

解析：(1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝，＝＝,∴DF＝a,AF＝a.又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周长的最小值为a.

(2)如图2，∵ΔBEF等腰，取EF中点G，连BG，则BG⊥EF.∴BG＝＝＝a　 ∴S_ΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a².

(3)∵V_A-BCD＝V_B-ACD，而三棱锥B-AEF，三棱锥B-ACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即

＝＝＝

评析 　把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.

514.　 已知三棱锥各侧面与底面成60°角.底面三角形的各角成等差数列，且最大边与最小边是方程3x²-21x+13＝0的两根.求此三棱锥的侧面积和体积.

解析： 如图，设底面三角形的边长为a、b、c.则由条件知∠B＝60°，a+c＝7,ac＝，得b²＝a²+c²-2accosB＝(a+c)²-2ac(1+cosB)＝7²-2·(1+)＝36b＝6,由三角形面积公式，得acsinB＝pr(其中p为半周长，r为内切圆半径)，求得r＝.

由于各侧面与底面成的角相等，∴顶点在底面上的射影是三角形的内心，且各侧面上的高相等，∴h＝rtg60°＝·＝，h_侧＝＝.故S_侧＝(7+6)×＝ (平方单位)，V＝·acsinBh＝×××＝ (立方单位).

513.　 如图，四棱锥的高为h，底面为菱形，侧面VDA和侧面VDC所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都是45°，求此棱锥的全面积.

解析：由面面垂直的性质可证得VD⊥底面，因为S_ΔVDA＝S_ΔVDC，∠ADC＝120°，DB是其平分线，而S_ΔVBC＝S_ΔVAB，所以全面积不难求得.

解　 由已知条件可得VD⊥底面ABCD，VD⊥DA，VD⊥DC，

∴∠ADC＝120°.

∵ABCD为菱形，

∴BD是∠ADC的平分线.

ΔADB和ΔDBC是全等的等边三角形，取BC的中点E，

连DE，BC⊥DE，BC⊥VE，∴∠VED＝45°.

在直角ΔDEC中，EC＝DE·ctg60°＝h,BC＝h,VE＝h.

∴S_底＝BC·DE＝h·h＝h²,

S_ΔVBC＝S_ΔVAB＝·h·h＝h²,

S_ΔVAD＝S_ΔVDC＝h·h＝h².

∴S_全＝h²+h²+h²

　 ＝(2+)h²

评析：本题的关键是侧面VDA和侧面VDC都垂直于底面，则它们的交线VD⊥底面ABCD，从而∠ADC＝120°.

512. 以四面体各面的重心为顶点构成一个新的四面体.求这两个四面体的表面积的比.

解析：因相似多面体全面积的比等于对应边的平方的比，故只须求出对应边的比.

∵B₁D₁＝EF＝BD，

∴＝.

同理，＝＝＝＝＝，

故ABCD和A′B′C′D′是相似多面体，其表面积的比为1∶9.

511. 已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为6的正方形，SA⊥底面ABCD，且SA=8，M是SA的中点，过M和BC作截面交SD于N.

(1)求证：截面MBCN是梯形，并求截面的面积；

(2)求截面MBCN与底面ABCD的夹角α.

解析：(1)先证MN∥BC且MN≠BC.因为BC∥AD，所以AD∥截面MBCN，从而

AD∥MN，BC∥MN.

又MN=AD=BC，所以MN≠BC.于是MN和BC平行但不相等，故MBCN是梯形.

再求截面的面积：SA⊥平面ABCD.易证MN和BC都垂直于平面ABS.所以MB⊥MN，MB⊥BC，故

S_截=(MN+BC)·MB

=(3+6)=9.

(2)首先要找到二面角的平面角.根据上面的证明，知∠MBA的是截面与底面所成二面角的平面角，即∠MBA=α.于是

tanα===

∴α=arctan

510. 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比.

解析：设棱锥的高为h，它被截成的三部分自上而下设为h₁，h₂，h₃，则有

()³=,()³=2,()³=.

所以h₁=h,h₂=(-1)h₁=(-1)h，

h₃=h.

所以h₁∶h₂∶h₃=1∶(-1)∶(-).

说明 　求体积之比或面积之比常用相似比.

509. 已知三棱锥S-ABC的底面面积是a，三棱锥的高是h，M、N、P、Q分别是SB、SC、AC、AB的中点，求五面体MN-PQBC的体积

解析： 如图，过M作MD∥BA交SA于D，则D是SA的中点，连结ND，则ND∥AC

所求五面体MN-PQBC的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA-MQPN的体积之差

而V_S-ABC=ah，

V_S-DMN=·a·=ah，

V_{三棱主柱DMN-APQ}=S_△AQP·h=ah，

∴V_MN-PQBC=V_S-ABC-V_SA-MQPN

=ah-(ah+ah)

=ah

508.　 三棱锥A-BCD中，AC=BD,AD=BC,AB=CD，三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、，则cosα+cosβ+cos=　　 　　.

解析：如图所示，设AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c

由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形.

记为S，侧面在底面的射影分别为S₁、S₂、S₃

则=cosα, =cosβ, =cos

cosα+cosβ+cos===1

507. 下列命题中是真命题的是(　　 )

A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥

B.各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥

C.由一个面是多边形，其余各个面是三角形所围成的几何体是棱锥

D.正四面体是正三棱锥

解析： 解此题时概念要明确，正棱锥不仅要求底面是正多边形，而且还要求其顶点在底面的射影是底面的中心，所以A、B不正确，C中的各三角形没有指明共顶点，C也不正确，D是真命题，所以选D.

506. 在空间中，

　①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．

　②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．

　以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．

　(把符合要求的命题序号都填上)

解析：②．①的逆命题为：空间四点中若任何三点都不共线，则这四点不共面．此命题是假命题．平行四边形的四个顶点是其反例．

　②的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，可知此命题为真命题．