12．(2010·宁波模拟)某建筑的金属支架如图所示，根据要求

AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD

的长小0.5 m，∠BCD＝60°，已知建造支架的材料每米

的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个

支架的成本最低？

解：设BC＝am(a≥1.4)，CD＝bm，连接BD.

则在△CDB中，(b－)²＝b²+a²－2abcos60°.

∴b＝.

∴b+2a＝+2a.

设t＝a－1，t≥－1＝0.4，

则b+2a＝+2(t+1)＝3t++4≥7，

等号成立时t＝0.5＞0.4，a＝1.5，b＝4.

答：当AB＝3 m，CD＝4 m时，建造这个支架的成本最低．

11．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，

在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

解：因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∴∠OCP＝120°.

在△POC中，由正弦定理得

＝，∴＝，所以CP＝sinθ.

又＝，∴OC＝sin(60°－θ)．

因此△POC的面积为

S(θ)＝CP·OCsin120°＝·sinθ·sin(60°－θ)×

＝sinθsin(60°－θ)＝sinθ(cosθ－sinθ)

＝[cos(2θ－60°)－]，θ∈(0°，60°)．

所以当θ＝30°时，S(θ)取得最大值为.

10．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．解析：如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.

因为AB=200，所以BD=200-80t，

问题就是求DE最小时t的值．

由余弦定理：DE²=BD²+BE²-2BD·BEcos60°

=(200-80t)²+2500t²-(200-80t)·50t

=12900t²-42000t+40000.

当t=时DE最小．

答案：

9.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为　　　　　　　　　　　　 (　)

A．300 m 　　　　B．400 m　　　　 C．200 m　　　 　D．200 m

解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面．

则BC=100，∠BDC=30°，∠BAD=30°，

∴BD=200，AB=2BD=400 米．

答案：B

8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为　　 (　)

A．锐角三角形 　　　B．直角三角形　　 C．钝角三角形　 　D．由增加的长度决定

解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c²＝a²+b²，a+b>c新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．

而(a+x)²+(b+x)²－(c+x)²＝x²+2(a+b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．

答案：A

7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．120°　 　　B．105°　　 C．90°　　 　D．75°

解析：∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°+C)＝(sinC+cosC)，

即sinC＝－cosC.∴tanC＝－.又C∈(0,180°)，

∴C＝120°.

答案：A

6．某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．

解：画出示意图(如图所示)

设山高PQ=h，则△APQ、△BPQ均为直角三角形，

在图(1)中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°.

∴AQ=，BQ==h.

在图(2)中，

∠AQB=57°+78°=135°，AB=2 500，

所以由余弦定理得：

AB²=AQ²+BQ²-2AQ·BQcos∠AQB，

即2 500²=(h)²+h²-2h·h·cos135°=(4+)h²，

∴h=≈984.4(m)．

答：山高约984.4 m.

5．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．

解析：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=.在三角形BPC中，由余弦定理可得

cos2θ=

=，所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD中，

可得PD=PC·sin4θ=10·=15(m)．

答案：15 m