2. 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n²－n+2个部分.

证明：(1)当n=1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)=1－1+2=2.

因此，n=1时命题成立.

(2)假设n=k时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k²－k+2个部分.

则n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分，因此：f(k+1)=f(k)+2k=k²－k+2+2k=(k+1)²－(k+1)+2.

∴n=k+1时命题也成立.

由(1)、(2)知对一切n∈N^*，命题都成立.

1．n为奇数时xⁿ+yⁿ能被x+y整除.

证明：(1)当n=1时，xⁿ+yⁿ=x+y，它能被x+y整除，所以n=1时命题成立.

(2) 假设当n=k(k为正奇数)时，命题成立，即x^k+y^k能被x+y整除.

当n=k+2时，

x^k+2+y^k+2=x²·x^k+y²·y^k=x²(x^k+y^k)+y²·y^k－x²·y^k

=x²(x^k+y^k)+y^k(y²－x²)=x²(x^k+y^k)+y^k·(y+x)(y－x).

由归纳假设知.x^k+y^k能被x+y整除.(y+x)(y－x)也能被x+y整除.

∴x²(x^k+y^k)+y^k(y+x)(y－x)能被x+y整除.

即x^k+2+y^k+2也能被x+y整除.故对n=k+2时也成立.即第k+1个奇数也成立.

由(1)、(2)知命题对一切正奇数都成立

例1用数学归纳法证明：x²ⁿ－y²ⁿ ()能被x+y整除

证明: (1)当n=1时，x²ⁿ－y²ⁿ=x²－y²=(x－y)(x+y)

所以(x－y)(x+y)能被x+y整除.故n=1时命题成立.

(2) 假设n=k时x^2k－y^2k能被x+y整除，

(利用添项去项将x^2k+2－y^2k+2配成x^2k－y^2k的形式，再用归纳假设)

因为x^2k+2－y^2k+2=x²·x^2k－y²·y^2k

=x²(x^2k－y^2k)+x²·y^2k－y²·y^2k

=x²(x^2k－y^2k)+y^2k(x²－y²)

由假设x^2k－y^2k能被x+y整除，而x²－y²也能被x+y整除.

故x^2k+2－y^2k+2能被x+y整除，即n=k+1时也成立.

由(1)、(2)知命题对一切正整数都成立.

例2 用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹是133的倍数.

证明：(1) 当n=0时，11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹=11²+12¹=121+12=133.故n=0时命题成立.

(2)假设当n=k时命题成立，即11^k+2+12^2k+1能被133整除.

∴n=k+1时，

11^(k+1)+2+12^2(k+1)+1=11·11^k+2+12²·12^2k+1

=11·(11^k+2+12^2k+1)+12²·12^2k+1－11×12^2k+1

=11·(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1(144－11)

=11·(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1·133

由归纳假设知11^k+2+12^2k+1及133都能被133整除.

∴11^(k+1)+2+12^2(k+1)+1能被133整除，即n=k+1时命题也成立.

根据(1)(2)可知.命题对一切自然数都成立.

说明：第一步的初始值，可能会：当n=1时，11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹=11³+12³=(11+12)(11²－11×12+12²)=23×(121+144－132)=23×133.　∴23×133能被133整除.即n=1时命题成立．.因为自然数中包括0，所以第一步应验证n=0，而不是n=1.

本题第一步若证明n=1时命题成立，一者计算量较大，二者也不符合自然数集的新定义.　证n=0，既方便减少计算量又科学更严密.一般情况，有时为了简化计算常将证明n=1改证n=0或n=－1，这种技巧称之“提前起点”，提前起点的前提是n为整数，否则递推无法进行.另外，利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k+1)能被p整除，也可运用结论：“P(k+1)－P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除.”

例3平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数为f(n)= .

证明：(1)当n=2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)=×2×(2－1)=1，

因此，当n=2时，命题成立.

(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)等于k(k－1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的一条直线，记为l.

　(如例3图所示).由上述归纳法的假设，除l以外的其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k－1).

另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的k·(k－1)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是k(k－1)+k=k［(k－1)+2］=(k+1)［(k+1)－1］.

这就是说，当n=k+1时，k+1条直线的交点个数为

f(k+1)=(k+1)［(k+1)－1］.

根据(1)、(2)可知命题对任何大于1的正整数都成立．

6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n取第一个值n₀结论正确；

(2)假设当n=k(k∈N^*，且k≥n₀)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.

由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确　

递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n₀，如果当n=n₀时，命题成立，再假设当n=k(k≥n₀，k∈N^*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n₀的正整数n₀+1，n₀+2，…，命题都成立.

4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n₀时命题成立；然后假设当n=k(kÎN*，k≥n₀)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.

2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.

1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般

25．(2010·金华模拟)A、B、C、D四种短周期元素的原子序数依次增大，A元素的气态氢化物与A元素的最高价氧化物对应的水化物能反应生成盐；B、C、D同周期，它们的最高价氧化物对应的水化物两两之间都能反应生成盐和水，B和D可组成化合物BD。回答下列问题：

(1)A元素的气态氢化物的结构式为：__________。D的最高价氧化物对应水化物的化学式：____________。

(2)在工业上常用________法制备单质C(填金属的冶炼方法)

(3)C、D组成的化合物溶于水的离子方程式：_________________。

(4)B、C最高价氧化物对应的水化物在溶液中反应的离子方程式为：_____________。

[解析]分析元素周期表和各元素的性质：A元素的气态氢化物与A元素的最高价氧化物对应的水化物能反应生成盐，可知A是N元素(NH₃+HNO₃＝NH₄NO₃)。B、C、D同周期，它们的最高价氧化物对应的水化物要么是酸，要么是碱，且两两之间都反应生成盐和水，可知C为Al；又B和D可组成BD化合物，可推得B为Na，D为Cl，由此可顺利解题。

[答案](1)　　 HClO₄

(2)电解；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)Al³⁺+3H₂OAl(OH)₃+3H⁺；

(4)Al(OH)₃+OH^－＝AlO₂^－+2H₂O

()