Question

【题目】如图，长方体中， 与底面所成的角为.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线与 所成角的大小．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】试题分析：（1）先证明是与底面所成的角，可得，利用棱锥的体积公式可得结果；（2）由，可得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理可得结果．

试题解析：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，

∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，

∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，

∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，

∴∠A1CA=60°，∴AA1=ACtan60°=2=2，

∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，

∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：

V===．

（2）∵BD∥B1D1，

∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．

∵BD=，A1D=A1B==2，

∴cos∠A1BD===．

∴∠A1BD=arccos．

∴异面直线A1B与 B1D1所成角是arccos．

【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立及棱锥的体积公式，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.