Question

【题目】已知函数.

(1)若，求函数在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性；

(3)若函数在上无零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2) 当时， 在上单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减（3）

【解析】试题分析：(1) 求得,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；(2)分时， 时两种情况讨论，求出，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（3）时， 时， 时，分别求出，令即可得到的取值范围.

试题解析：(1) 时， ，

∴，故切点为.

又，∴，

故切线方程为，即.

(2) ，

当时， ，此时在上单调递减；

当时，令得， (舍)，

当时， ；当时， ，即在上单调递增，在上单调递减.

综上所述：当时， 在上单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减.

（3）由(2)知：当时， 在上单调递减， ，

此时在上无零点；

当时， 在上单调递增，在上单调递减，

，解得.

∴，此时在上无零点；

当时， 在上单调递增， ，无解.

综上所述， .

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.