Question

观察下面按规律排起的一列数：

1

1

，

1

2

，

2

1

，

1

3

，

2

2

，

3

1

，

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

，

1

5

，

2

4

，

3

3

，

4

2

，

5

1

，

1

6

…
（1）若将左起第m个数记为F（m），当F（m）=

2

2001

时，求m的值和这个m个数的积．
（2）在此列数中，未经约分且分母为2的数记为a，他后面的一个数记为b，且存在这样的两个数a和b，使ab=2001000，求出a和b．

Answer 1

考点：数列中的规律

专题：探索数的规律

分析：（1）分子依次为1，1，2，1，2，3，1，2，3，4…
分母依次为1，2，1，3，2，1，4，3，2，1…
即每一次以分子是1开始的分为一组，分母则与分子是倒过来，直到分母变成1；
第1个分子分母和为2，1个分数，
第2，3个分子分母和为3，分子从1到2，2个分数，
第4，5，6个分子分母和为4，分子从1到3，3个分数
…
每组中各个分数的分子与分母的和是相等的，分子与分母的和是n时，这组有n-1个数；
F（m）=

2

2001

时，分子与分母的和是2+2001=2003，所以F（m）=

2

2001

之前这组只有一个分数是

1

2002

，前面一组的分子与分母的和是2002，所以在F（m）=

2

2001

时，有1+2+3…+2001+2个分数；

1

1

=1，

1

2

×

2

1

=1，

1

3

×

2

2

×

3

1

=1，

1

4

×

2

3

×

3

2

×

4

1

=1，
每组数的乘积都是1，那么F（m）=

2

2001

时，所有数的乘积就是

1

2002

×

2

2001

；
（2）先设第n组a=

n-1

2

，则d=

n

1

，根据ab=2001000，列方程求解即可．

解答： 解：分组：（

1

1

），（

1

2

，

2

1

），（

1

3

，

2

2

，

3

1

），（

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

），（

1

5

，

2

4

，

3

3

，

4

2

，

5

1

），（

1

6

…）…（

1

2002

，

2

2001

，…

2002

1

）每组数的积都是1；
F（m）=

2

2001

时，
m=1+2+3…+2001+2
=（1+2001）×2001÷2+2
=2002×2001÷2+2
=2003001+2
=2003003；

这些数的积是：

1

2002

×

2

2001

=

1

2003001

；

（2）a为某组倒数第二个数，b为该组最后一个数，
设它们在第n组a=a=

n-1

2

，则d=

n

1

，根据ab=2001000，
则

n(n-1)

2

=2001000，
a=

2000

2

，
b=

2001

1

．

点评：本题考查了数列分组的解题思路，解题关键是得出每组分数对应的分子和分母．