Question

甲乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：传统应用题专题

分析：n头羊的总价为n²元，因为先由甲拿，到最后甲拿走10元，乙不足10元，因此n²元中含有奇数个10元，即完全平方数n²的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，n²的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元．

解答： 解：n头羊的总价为n×n=n²元，由题意知n²元中含有奇数个10元，即完全平方数n²的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，n²的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙：（10+6）÷2-6=2（元）．
答：为了平均分配，甲应该补给乙2元．

点评：此题也可这样解答：
解：设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数）元，
当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y）元，甲给了乙10-（5+y）=5-y元，
所以有n²=20x+10+2y，
因为（20x+10）个位为0，2y是完全平方数的个位数，2y=1，4，5，6，9，
若2y是奇数，则2y=1，5，或9，
所以20x+10+2y=20x+11，20x+15或20x+19，
因为20x+11、20x+15、20x+19除以4的余数都是3，它们不是完全平方数，
所以2y是偶数，2y=4或6，y=2或3．
若y=2，n²=20x+14=2（10x+7），右边不是完全平方数
所以y=3，
所以甲应该找给乙5-3=2（元）．