Question

【题目】一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?

Answer 1

【答案】15

【解析】设这个两位数为=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，

设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．

特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；

所以当除数a+b不为18，即最大为17时，

第一种情况：余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有 (t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；

第二种情况：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，

除数a+b=17时，有9a=15+17m,有,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；

除数a+b=16时，有9a=15+16m,有(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；

所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．