Question

有四个自然数1、a、b、c，满足a+b+c=2001，且1＜a＜b＜c，这四个小自然数两两求和可得到6个不同的数．把这6个数从小到大排列，求相邻两数的差，又得到5个数，这5个数恰都相等，则C=

 

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Answer 1

考点：整数的裂项与拆分

专题：整数的分解与分拆

分析：这六个数从小到大排列分别是1+a，1+b，1+c，a+b，a+c，b+c．因为“相邻的差，都相等”，就说明上面六个数是等差数列．那么取前三项，1+a+1+c=2（1+b），得到a+c=2b
又已知a+b+c=2001，那么可得到：b=667．取1+b，1+c，a+b，得到1+b+a+b=2（1+c），整理得2b+a=1+2c，即2c-a=1333，又a+c=2b，a+c=1334把a=1334-c代入2c-a=1333可求出c的值是多少．

解答： 解：把这六个数从小到大排列分别是1+a，1+b，1+c，a+b，a+c，b+c．
因为“相邻的差，都相等”，就说明上面六个数是等差数列．那么取前三项，1+a+1+c=2（1+b），得到a+c=2b
a+b+c=2001
   3b=2001
    b=667．
取1+b，1+c，a+b，得到
1+b+a+b=2（1+c）
   2b+a=1+2c
   2c-a=1333，
a+c=2b
a+c=1334
把a=1334-c代入2c-a=1333
2c-（1334-c）=1333
      3c-1334=1333
           3c=2667
            c=889
答：c=889．
故答案为：889．

点评：本题的关键是把两两相加得到的6个数按顺序排列大小，再根据相邻两数的差相等，确定是等差数列，再进行解答．