Question

15．如图是一个边长分别为a、b、c的直角三角形，并且c²=a²+b²．请你分别以直角三角形的三边中点为圆心，以边长为直径在直角三角形外画半圆．这三个半圆面积是什么关系？并说明理由．

Answer 1

分析 先设直角三角形的三边分别为a、b、c，再由勾股定理及圆的面积公式即可得出三个半圆面积之间的关系．

解答 解：如图：

设直角三角形的三边分别为a、b、c，
则因为三个半圆的面积分别是：
$\frac{1}{2}$×π（$\frac{a}{2}$）²=$\frac{1}{8}$πa²
$\frac{1}{2}$×π（$\frac{b}{2}$）²=$\frac{1}{8}$πb²
所以$\frac{1}{8}$πa²+$\frac{1}{8}$πb²=$\frac{1}{8}$π（a²+b²）
而a²+b²=c²，
所以$\frac{1}{8}$πa²+$\frac{1}{8}$πb²=$\frac{1}{8}$πc²．
所以以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积．

点评 此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．