Question

把1到1997这1997个数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上（如图）．从1开始按顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；…（每隔一个数，擦去一个数）转圈擦下去，最后剩的是哪个数？

Answer 1

分析：如果依照题意在上图中进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难的．我们还应从最简单的情况入手分析，归纳出解决问题的规律，再用此规律解题．

解答：解：如果是2个数1，2，最后剩下1；如果是3个数1，2，3，最后剩下3；如果是4个数1，2，3，4，最后剩下1；如果是5个数1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6个数1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1-7，7个数，最后剩下7；如果是1-8，8个数，最后剩下1．
我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩下的都是1．实际上，当数的个数为2ⁿ时（n≥2），当擦完一圈后还剩2^n-1个数，把问题化成2^n-1个数的情况．不断作下去，最后化为2个数的情况，显然最后剩下的数为1（1为起始数）．
由于2¹⁰=1024，2¹¹=2048，2¹⁰＜1997＜2¹¹，1997-1024=973．
这就是说，要剩2¹⁰个数，需要先擦去973个数．按题意，每两个数擦去一个数，当擦第973个数时，最后擦去的数是：973×2=1946．
下一个起始数是1947，所以，最后剩下的数应是1947．

点评：从数字和操作规律分析，找出解决问题的规律，然后运用总结的规律解决问题．