Question

从l、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问：
（1）要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？
（2）要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？

Answer 1

考点：数的整除特征,2、3、5的倍数特征,排列组合

专题：可能性,整除性问题

分析：（1）要使这3个数的乘积能被3整除，即这三个数中含有3的倍数，即3和6，完成该问题分三类，有3没6：4+3+2+1=10种；同理有6没3的有10种；有3有6的：5种；所以总共有10+10+5=25种；
（2）任取三个数和的范围6～18，要使这3个数的和能被3整除：即和为6，9，12，15，18，逐一探讨得出答案即可．

解答： 解：（1）有3没6：4+3+2+1=10种；
同理有6没3的有10种；
有3有6的：5种；
所以总共有10+10+5=25种；
答：一共有25种不同的选法．

（2）①先求出两个极值5+6+7=18.1+2+3=6．共2种，
②和为9：2+3+4=9、1+3+5=9、1+2+6=9，共3种，
③和为12：3+4+5=2+4+6=1+4+7=2+3+7=1+5+6=12，共5种，
④和为15：4+5+6=3+5+7=2+6+7=15，共3种，
共2+3+5+3=13（种）．
答：一共有13种不同的选法．

点评：此题抓住能被3整除的数的特征，正确利用两种计数原理解决问题．