Question

阅读理解：
1-

1

2

=

2-1

1×2

=

1

1×2

 

1

2

-

1

3

=

3-2

2×3

=

1

2×3

  

1

3

-

1

4

=

4-3

3×4

=

1

3×4

…
据此规律完成下列各题：
（1）填空

1

n

-

1

n+1

=

 

；
（2）求

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2010×2011

的值；
（3）求

1

3×5

+

1

5×7

+

1

7×9

+

1

9×11

+

1

11×13

的值．

Answer 1

考点：分数的拆项

专题：计算问题（巧算速算）

分析：（1）分析题意得：差的分子为1，分母为减法算式中两个分数分母的乘积；据此规律解答即可．
（2）（3）根据已知式子规律，先把分数拆项，再把第2项与第3项互相抵消，第4项与第5项互相抵消，以此类推，则只剩下第1项与最后1项；据此解答即可．

解答： 解：（1）分析题意得：差的分子为1，分母为减法算式中两个分数分母的乘积；
所以：

1

n

-

1

n+1

=

1

n×(n+1)

；

（2）求

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2010×2011

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2009

-

1

2010

+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

（3）

1

3×5

+

1

5×7

+

1

7×9

+

1

9×11

+

1

11×13

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+

1

2

×（

1

7

-

1

9

）+

1

2

×（

1

9

-

1

11

）+

1

2

×（

1

11

-

1

13

）
=

1

2

×（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+

1

9

-

1

11

+

1

11

-

1

13

）
=

1

2

×（

1

3

-

1

13

）
=

1

2

×

10

39

=

5

39

故答案为：

1

n×(n+1)

．

点评：解答此类问题的关键是根据已知的式子总结出规律，然后用规律解答即可．