Question

8．如图有一直角三角形，直角边分别为6cm和8cm，在直角三角形内作一个最大正方形，求正方形的面积．

Answer 1

分析 如下图所示：在直角三角形ABC内作一个最大正方形DBFE，设正方形的边长为xcm，则DE=DB=xcm，AD=6-x（cm），由DE∥BC，可得三角形ADE∽三角形ABC，则有$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{8}$，解得x=$\frac{24}{7}$；再利用正方形的面积公式可求出正方形的面积．

解答 解：在直角三角形ABC内作一个最大正方形DBFE，如上图所示，
设正方形的边长为xcm，则DE=DB=xcm，AD=6-x（cm），
因为DE∥BC，
所以三角形ADE∽三角形ABC，
所以$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$，
即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{8}$，
解得x=$\frac{24}{7}$；
所以正方形的边长为$\frac{24}{7}$cm，
面积为：$\frac{24}{7}$×$\frac{24}{7}$=$\frac{576}{49}$（cm²）．
答：正方形的面积是$\frac{576}{49}$cm²．

点评 本题解决的关键是求出直角三角形内最大正方形的边长，利用相似三角形的性质列出方程解决问题．