Question

被称为人类生活和生产“最忠实的伴侣”的机器人，近几年来取得飞速发展，引起世人的关注．如图是机器人科普展示活动中的足球比赛：假设矩形ABCD是机器人踢足球的场地，AB=170cm，AD=80cm，场地内有一小球从B点向A点运动，E是AD的中点，EF与AD垂直，且EF=40cm．机器人从F点出发去截小球，它们同时出发，且小球速度是机器人的2倍．若忽略机器人原地旋转所需时间，则机器人最快可在何处截住小球？

Answer 1

分析：设机器人最快可在点G处截住小球，点G在线段AB上，设FG为xcm，表示出BG和AG，因为三角形AEF为等腰直角三角形，可得角FAG为45°，在三角形AFG中根据余弦定理求出FG即可．

解答：解：设该机器人最快可在点G处截住小球，点G在线段AB上．
设FG=xcm．根据题意，得BG=2xcm．
则AG=AB-BG=（170-2x）（cm）．
连接AF，在△AEF中，EF=AE=40cm，EF⊥AD，
所以∠EAF=45°，AF=40

2

cm．
于是∠FAG=45°．在△AFG中，由余弦定理，
得FG²=AF²+AG²-2AF?AGcos∠FAG．
所以x²=（40

2

）²+（170-2x）²-2×40

2

×（170-2x）cos45°．
解得x₁=50x₂=

370

3

．
所以AG=170-2x=70（cm），或AG=-

230

3

（cm）（不合题意，舍去）．
答：该机器人最快可在线段AB上离A点70cm处截住小球．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，利用余弦定理求边的能力．