Question

17．要把一根长36.9厘米的木料锯成长3.9厘米和6.9厘米两种规格的小木料，每锯一次要耗损0.1厘米的木料，问这两种规格的木料各锯几段才能使浪费最少？

Answer 1

分析 根据题意可知，同样长度的木料锯的次数越少则损耗的就越少，要想分割的次数越少就要使每一段的长度最大．本题中就要让6.9厘米的木料达到最多，而让3.9厘米的木料最少．因为锯一次要损耗0.1厘米铜管，我们设3.9厘米、6.9厘米的木料分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有：3.9X+6.9Y=36.9-（X+Y-1）×0.1．要使损耗最少，就应尽可能多锯6.9厘米长的木料，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大．将X的值按由小到大顺序，用试代法代入，解这个不定方程就不难得到答案了．

解答 解：设3.9厘米、6.9厘米的木条分别锯X段、Y段，那么根据题意有：
3.9X+6.9Y=36.9-（X+Y-1）×0.1
即40X+70Y=370
要使损耗最少，就应尽可能多锯6.9厘米长的小木料，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大．
将X的值按由小到大顺序，用试代法代入，解这个不定方程得：
当X=1时，Y≈4.71； 当X=2时，Y≈4.14； 当X=3时，Y≈3.57；
当X=4时，Y=3； 当X=5时，Y≈2.43；
…当X=5时，Y≈2.43；…
因为根据题意X、Y都必须是自然数，
所以，X=4，Y=3．才是符合题意的解．
此时损耗的木条长度是：（4+3-1）×0.1=0.6（厘米）．
所以只有当3.9厘米的木料锯4段，6.9厘米的木料锯3段时，损耗最少．
答：只有当3.9厘米的木料锯4段，6.9厘米的木料锯3段时，所浪费木条才能最少．

点评 这是一个解不定方程，求最小值（或最大值）的应用题，解题时要分清题目要求的是什么最小；什么最大．本题中我们要损耗最小，就要每段的长度最大，锯铜管的次数最少．