Question

【题目】给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合.

（I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；

（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；

（III）若集合为闭集合，且,证明：.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.

【解析】

（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若AB=R，存在a∈R且aA，故a∈B，同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与aA矛盾，同理可知若，，与bB矛盾，即可证明.

（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；

任取，设,

则且

所以，

同理，，故B为闭集合.

（II）结论：不一定.

令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，

则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈AB，2+3=5AB，

因此，AB不为闭集合.

（III）证明：（反证）若AB=R,

则因为AR，存在a∈R且aA，故a∈B,

同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A,

因为a+b∈R=AB，所以，a+b∈A或a+b∈B,

若，则由A为闭集合，，与aA矛盾,

若，则由B为闭集合，，与bB矛盾,

综上，存在c∈R，使得c（AB）.