Question

【题目】（4分）请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．

Answer 1

【答案】三位数285、636除以7、11、13的余数之和最大．

【解析】

试题分析：根据题意，要使余数之和最大，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，则它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一个四位数，不符合题意，因此，余数之和最大时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；然后分类讨论，求出满足题意的三位数即可．

解：根据题意，要使余数之和最大，三个余数只能分别为 6、10、12，

那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，

所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，

则它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一个四位数，不符合题意，

因此，余数之和最大时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；

（1）当三个余数分别为5、10、12时，则这个数加1后能被11、13整除，且它被7除后余5，

所以所求的三位数为：11×13k﹣1，它被7除的余数为：3k﹣1=5，解得k=2，

所以这个三位数是：11×13×2﹣1=285；

（2）当三个余数分别为6、9、12时，则这个数加1后能被7、13 整除，且它被11除后余9，

所以所求的三位数为：7×13k﹣1，它被11除的余数为3k﹣1=9+11，解得k=7，

所以这个三位数是：7×13×7﹣1=636；

（3）当三个余数分别为6、10、11，则这个数加1后能被 7、11整除，且它被13除后余11，

所以所求的三位数为：7×11k﹣1，它被13除的余数为：12k﹣1=11，解得k=1，

所以这个数是：7×11﹣1=76，它是一个两位数，不符合题意；

综上，三位数285、636除以7、11、13的余数之和最大．