Question

用数字l～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有

144

种组成方法．

Answer 1

分析：要使任意相邻三个数字组成的三位数都是三的倍数，就需要令任意相邻三个数字组成的数字之和为三的倍数；或令任意相邻三个数字各自除以3所得的余数之和为3的倍數，1，4，7除以3余1，2，5，8除以3余2，3，6除以3余0，而满足题意的余数组合就只有12012012和21021021这两个；每个组合的8位数字个数为3×3×2×2×2×1×1×1=72个，两组共144个．

解答：解：l～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余1，第2、5、8位上的数被3除同余2，第3、6位上的数被3除同余0，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有33×3×2×2×2×1×1×1×2=144种方法．
故答案为：144．

点评：此题主要考查整除的性质及应用，每个数位上的余数特点，再逐步进行推导即可．