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【题目】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.

【答案】361,400,441,484,529,576,625

【解析】

一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个,这样它们加1后均是奇数,所得的乘积还能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数.

由以上分析知,我们所求的为360~630之间有多少个完全平方数?

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360~630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625.

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