Question

编号为1----50的50盏关着的灯．规定把关着的灯打开或把开着的灯关上都叫“处理”．现在，第一次逐个进行处理，第二次对编号是2的倍数的灯进行处理，第三次对编号是3的倍数的灯进行处理…直到第50次对编号是50的倍数的灯进行处理．进过这50次得处理后，最后还有哪几盏灯是亮着的？

Answer 1

分析：原来50盏灯全部关着，由于灯的处理偶数次状态不变，处理奇数次状态改变，因此根据1～50的约数的个数即能确定最后还有哪几盏灯是亮着的：有奇数个约数的编号灯最后是开着的，有偶数个约数的编号的灯状态不变，最后是关着的．

解答：解：由于灯处理偶数次状态不变，处理奇数次状态改变，
素数2有1和本身2个约数，则1～50所有质数编号的灯最后是关着的；
合数中，如果是完全平方数象1、4、9、16…49这样的都是奇数个约数，
而不是完全平方数的合数象6、8、10、…50这样的都是偶数个约数，
所以算出1-50里面有几个平方数即可知道有多少是亮的则有：
1号、4号、9号、16号、25号、36号、49号共7盏灯亮着．
答：最后有1号、4号、9号、16号、25号、36号、49号共7盏灯亮着．

点评：明确灯处理偶数次状态不变，处理奇数次状态改变，并由此根据编号的约数的个数进行判断是完成本题的关键．