Question

【题目】如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发．沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．

【1】四边形PQEF的形状是_____；

【2】PE是否总是经过某一定点，如果经过某一定点，请通过作图标出来如果不经过某一定点，请说明理由；

【3】四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？

Answer 1

【答案】

【1】 正方形

【2】

对角线PE总过AC的中点

【3】 正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，

当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，此时S正方形PFEQ=S正方形ABCD．

当P与顶点B重合时，面积最大，S正方形PQEF=S正方形ABCD．

【解析】

1.因为速度相同，所以四边形PQEF外面的四个三角形是相同的，从而四边形PQEF的四条边相等，同时也可以求得这个四边形的四个角都是直角，所以这个四边形是正方形．

2.大正方形对角线相交于中心点，小正方形的对角线也相交于中心点，这两个中心点重合．

3.小正方形与大正方形重合的时候面积最大，PE与AB垂直的时候面积最小．

【1】正方形；

【2】连接AC交PE于O，

∵AP平行且等于EC，

∴四边形APCE为平行四边形．

∵O为对角线AC的中点，

∴对角线PE总过AC的中点．

【3】正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，

当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，此时S正方形PFEQ=S正方形ABCD．

当P与顶点B重合时，面积最大，S正方形PQEF=S正方形ABCD．

故答案为：正方形．

本题考查了四边形的综合题，在证明过程中，应用了正方形的性质和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线，此题难度一般．