Question

包含0至9这10个数字的十位数称为“十全数”．求满足以下条件的所有的十全数：
①它的千位是7；
②从左往右数，它的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除…前十位组成的十位数能被10整除．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：设这个数从左到右分别为ABCDEFGHIJ，其中G=7，显然J=0．能被5整除说明E=5；
由题意容易看出B，D，F，H都是偶数；
前八位能被8整除说明FGH能被8整除，而F是偶数，说明GH能被8整除，而G=7，说明H=2；
前三位能被3整除，前六位能被6整除，说明DEF能被3整除；
E=5，D，F为偶数，说明D，F一个为4，一个为6．
这样B=8，而且前四位能被4整除也就是CD能被4整除，C是奇数，说明D=6，从而F=4；进而推出ABC与DEF的值．

解答： 解：设这个数从左到右分别为ABCDEFGHIJ，
其中G=7，显然J=0．
能被5整除说明E=5．
比较容易看出B，D，F，H都是偶数．
前八位能被8整除说明FGH能被8整除，而F是偶数，说明GH能被8整除，而G=7，说明H=2．
前三位能被3整除，前六位能被6整除，说明DEF能被3整除．
E=5，D，F为偶数，说明D，F一个为4，一个为6．
这样B=8，而且前四位能被4整除也就是CD能被4整除，C是奇数，说明D=6，从而F=4．
前三位能被3整除，B=8，说明A，C必然有一个是1，另外一个是9，或者3．这样ABC有四种可能，381，183，981，189．
前七位是7的倍数而G=7，说明前六位能被7整除，也就是ABC与DEF的差能被7整除，也就是除以7的余数相同；
654除以7余3，前面四个数只有381除以7余数是3．
于是得到这个数为3816547290．

点评：完成本题要在充分了解能被3、4、5、7、8和10整除数的特征的基础上进行．