Question

如图所示，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，…．观察图中的规律，第100个黑色梯形的面积S₁₀₀=

 

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Answer 1

分析：观察图形且由已知我们得到，（1）黑色梯形的上、下底的长分别是对应的过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点到O的距离（因为，∠AOB=45°构成等腰直角三角形），（2）黑色梯形的上底长形成1，5，9，13，…一列数，下底长形成3，7，11，15，…一列数．观察两列数找出规律求出第100个黑色梯形的上底和下底长．（3）所有黑色梯形的高也能从图形观察分析得出．从而求出第100个黑色梯形的面积．

解答：解：已知，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，
所以得到，黑色梯形的上、下底的长分别是对应的过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点到O的距离（因为，∠AOB=45°构成等腰直角三角形）．
观察分析得到：黑色梯形的上底长形成1，5，9，13，…一列数，
下底长形成3，7，11，15，…一列数，
1，5，9，13，…是首项为1，公差为4的等差数列，
3，7，11，15，…是首项为3，公差为4的等差数列，
那么，它们的第100项分别为：
1+（100-1）×4=397，
3+（100-1）×4=399，
3-1=2，7-5=2，11-9=2，…，
所以每个黑色梯形的高都为2，
所以第100个黑色梯形的面积s₁₀₀=（397+399）×2÷2=796．

点评：此题考查的知识点是数字图形的变化类，考查了学生观察分析归纳问题的能力，解此题的关键是黑色梯形的上、下底的长分别是对应的过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点到O的距离（因为，∠AOB=45°构成等腰直角三角形）和由3-1=2，7-5=2，11-9=2，…，所以每个黑色梯形的高都为2．