Question

（1）用1×1，2×2，3×3三种型号的正方形地板砖铺设23×23的正方形地面，请你设计一种铺设方案，使得1×1的地板砖只用一块．
（2）请你证明：只用2×2，3×3两种型号的地板砖，无论如何铺设都不能铺23×23的正方形地面而不留空隙．

Answer 1

分析：（1）根据用1×1，2×2，3×3三种型号的正方形地板砖铺设，可以得出用12块3×3地板砖与6块2×2地板砖能铺成12×11的长方形，再利用4个12×11的板块，恰用1块1×1地板砖，可以铺满23×23的正方形；
（2）根据23×23的大正方形分成23行23列共计529个1×1的小方格，假设用2×2及3×3的正方形地板砖可以铺满23×23后正方形地面，则它们盖住的白色1×1的小方格总数为偶数个．
然而23×23地面染色后共有23×15（奇数）个1×1的白色小方格，矛盾，得出命题正确．

解答：解：（1）首先用12块3×3地板砖与6块2×2地板砖能铺成12×11的长方形地面，
再利用4个12×11的板块，恰用1块1×1地板砖，可以铺满23×23的正方形地面．
（2）我们将23×23的大正方形分成23行23列共计529个1×1的小方格，
再将第1行，第4行，第7行，第10行，第13行，第16行，第19行，第22行这八行染红色，其余的15行都染白色，
任意2×2或3×3的小正方块无论怎样放置（边线与大正方形格线重合），每块2×2或3×3的正方块都将盖住偶数块1×1的白色小方格．
假设用2×2及3×3的正方形地板砖可以铺满23×23后正方形地面，则它们盖住的白色1×1的小方格总数为偶数个．
然而23×23地面染色后共有23×15（奇数）个1×1的白色小方格，矛盾．
所以，只用2×2，3×3两种型号地板砖无论如何铺设，都不能铺满23×23的正方形地面而不留空隙．

点评：此题主要考查了染色问题和图形的排列与组合，根据数据分析出假设用2×2及3×3的正方形地板砖可以铺满23×23后正方形地面得出矛盾从而解决问题．