Question

1．（1）这三幅图中分别有多少个三角形呢？请填空．
（2）如果照着这样画下去，第9幅图中一共有55个三角形．
（3）第n幅图中一共有$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$个三角形．

Answer 1

分析 （1）此类问题的计数方法是：先数出图中的小三角形个数，如果图中有2个小三角形，那么图中的三角形总个数就是1+2=3；如果图中有3个小三角形，那么图中三角形的总个数就是1+2+3，此题图中一共有4个小三角形，那么图中的三角形个数就是：1+2+3+4，由此即可解答；
（2）根据上面的分析，第9个图形中是10个小三角形，所以一共有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10个三角形；
（3）若是第n个图形，则有n+11个小三角形，所以一共有1+2+3+4+…+n-1+n+n+1个三角形，据此即可解答问题．

解答 解：（1）根据题干分析可得：1+2=3（个）
1+2+3=6（个）
1+2+3+4=10（个）


（2）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（个）
答：第9个图形一共有55个三角形．

（3）第n个图形一共有：
1+2+3+4+…+n-1+n+n+1
=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$（个）
答：第n个图形有$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$个三角形．
故答案为：3；6；10；55；$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．

点评 此题主要考查了计数方法的应用，如果图形中的小三角形个数为n，则图中三角形的总个数就是1+2+3+…+n．