Question

一个回文数是指从首位数读到末位数，与从末位数读到首位数都相同的数（例如：11511，22222，10001）．请问可被11整除的五位数的回文数个数与全部五位数的回文数的个数之比为何？答案请用最简分数表示之．

Answer 1

考点：数的整除特征,比的意义

专题：整除性问题

分析：五位回文数的一般形式为ABCBA，所以五位回文数共有9×10×10=900个；
若五位回文数能被11整除，则2a+c与2b的差是11的倍数，
即2a+c-2b=11，2a+c-2b=22，2b-（2a+c）=11或2b=2a+c；
若2a+c-2b=11，则c为奇数，共35个数；
若2a+c-2b=22，则c为偶数，共6个数；
若2b-（2a+c）=11，则c为奇数，共有6个数；
若2b=2a+c，则c为偶数，共35个数．
由此可以求出能被11整除的五位回文数的个数，进而求出被11整除的五位数的回文数个数与全部五位回文数的个数之比．

解答： 解：五位回文数的一般形式为ABCBA，因A只能取1-9共9钟情况，B和C分别有10钟可能，
所以共有9×10×10=900个回文数；
若五位回文数能被11整除，则2a+c与2b的差是11的倍数，
即2a+c-2b=11，2a+c-2b=22，2b-（2a+c）=11或2b=2a+c；
若2a+c-2b=11，则c为奇数，当c=1时，a-b=5，b=0，1，2，3，4；
当c=3时，a-b=4，b=0，1，2，3，4，5；
当c=5 时，a-b=3，b=0，1，2，3，4，5，6；当c=7时，a-b=2，b=0，1，2，3，4，5，6，7；
当c=9 时，a-b=1，b=0，1，2，3，4，5，6，7，8．共35个数；
若2a+c-2b=22，则c为偶数，且不小于4，当c=4时，a-b=9，b=0；
当c=6时，a-b=8，b=0，1；当c=8时，a-b=7，b=0，1，2．共6个数；
若2b-（2a+c）=11，则c为奇数，当c=1时，b-a=6，a=1，2，3；
当c=3时，b-a=7，a=1，2；
当c=5时，b-a=8，a=1；
c=7或9时，a和b无法同时为1位数，所以共有6个数；
若2b=2a+c，则c为偶数，当c=0时，a=b，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9；
当c=2 时，b=a+1，a=1，2，3，4，5，6，7，8；
当c=4时，b=a+2，a=1，2，3，4，5，6，7；
当c=6 时，b=a+3，a=1，2，3，4，5，6；
当c=8时，b=a+4，a=1，2，3，4，5．共35个数．
所以能被11整除的五位回文数有35+6+6+35=82个，与全部五位回文数的个数之比为82：900=41：450；
答：可被11整除的五位数的回文数个数与全部五位数的回文数的个数之比是41：450．

点评：此题较难，应结合题意，进行分析，求出能被11整除的五位回文数的个数，是解答此题的关键．