Question

已知m，n，k为自然数，m≥n≥k，2^m+2ⁿ+2^k是100的倍数，求m+n-k的最小值．

Answer 1

分析：首先注意100=2²×5²，如果，n=k，那么2^m是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的，所以n-k≥1；2^m十2ⁿ-2^k=2^k（2^m-k+2ⁿ-k-1）被2²整除，所以k≥2，设a=m-k，b=n-k，则a≥b．而且都是正整数；2^a+2^b-1被5²整除，要求a+b+k=m+n-k的最小值，不难看出：2¹⁰+2¹-1=1025；被25整除，所以a+b+k的最小值≤1O+1十2=13，而且在a=10，b=1，k=2时，上式等号成立；还需证明在a+b≤10时，2^a+2^b-1不可能被5²整除；
列表如下：

a≤3时，2^a+2^b-1＜8+8=16不被5²整除．其它表中情况，不难逐一检验，均不满足2^a+2^b-1被25整除的要求；因此a+b+k即m十n-k的最小值是13．

解答：解：因为100=2²×5²，如果，n=k，那么2^m是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的，
所以n-k≥1；2^m十2ⁿ-2^k=2^k（2^m-k+2ⁿ-k-1）被2²整除，所以k≥2，
设a=m-k，b=n-k，则a≥b．而且都是正整数；2^a+2^b-1被5²整除，要求a+b+k=m+n-k的最小值，
不难看出：2¹⁰+2¹-1=1025；被25整除，所以a+b+k的最小值≤1O+1十2=13，而且在a=10，b=1，k=2时，上式等号成立；
还需证明在a+b≤10时，2^a+2^b-1不可能被5²整除；
列表如下：

a≤3时，2^a+2^b-1＜8+8=16不被5²整除．其它表中情况，不难逐一检验，均不满足2^a+2^b-1被25整除的要求；
所以a+b+k即m十n-k的最小值是13．
故答案为：13．

点评：解答本题的关键是把100写成2²×5²，得出2^m+2²+2^k被4和25整除，从而求出最小值．