Question

【题目】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少?

Answer 1

【答案】33

【解析】

设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．

它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=297．…………………①

它们的最大公约数与最小公倍数的和为：

[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=693，且(q1,q2)=1.………②

综合①、②知(a，b)是297，693的公约数，而(297，693)＝99，所以(a，b)可以是99，33，11，9，3，1．

第一种情况：(a，b)＝99，则(q1+q2)＝3，(q1q2+1)＝7，即q1q2＝6＝2×3，无满足条件的q1，q2；

第二种情况：(a，b)＝33，则(q1+q2)＝9，(q1q2+1)＝21，即q1q2＝20＝22×5，则q1＝5，q2＝4时满足，a＝(a,b)q1＝33×5＝165，b＝(a,b)q2＝33×4＝132，则a-b＝165－132＝33；

第三种情况：(a，b)＝11，则(q1+q2)＝27，(q1q2+1)＝63，即q1q2＝62＝2×31，无满足条件的q1，q2；

一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的的q1，q2．

所以，这个两个自然数的差为33．